Traité de Calcul géométrique supérieur. 71 



3c étant un entier quelconque ou zéro. On aura donc enfin la fonction sim- 

 plement périodique [VHI] 



2 ^ ^(ti) = ^(v^-\-^.27r) = ^(—v^+yr-\->c.27r) . . . (150), 



en observant, quant à la valeur principale 7t^ [(14(;)], que 



4(0) = (loi). 



86. Autres propriétés. V L'équation (143) peut se poser, à l'aide 

 de la formule (150), sous la forme 



4' 00 = l/i_-;4o,,)i^ (152), 



d'où la règle de differentiation est établie pour la fonction périodique 4('0- 



2" Puisque la fonction f(z) = - ^ [(^43)] est irréproductive 



relativement à ~ , les quantités 1 et j^ étant les deux racines carrées de 

 1, on aura, suivant la formule (90), 



4(y») = 5^4(") (153), 



d'où il suit que la fonction 4(") ^st reproductive ["impaire"] par rapport 

 à y [=-1]. 



3" A l'aide des formules (150) et (151), et puisque i'X+ 1) = ±|53- 

 [(145)], on aura les valeurs cardinales de la fonction 4(?0- 



U = \^(+^-|-2;c7r) = ■^{iC7r)\ 



1 ^ 4(— |7r± TT +2;c7r) .... (154). 



~-\ = -l{\7r ±7r -{-2iC7r) ) 



4" Si Ion introduit dans la formule (143) ^ = j/l — z^ et, par suite, 

 = |/ 1 — C% on aura du = ,^--— ^ = — wy^^^à et, en intégrant, 



- - - dt: 



r dz r di _ r dHj _ C i 



1/1 -_ ,2 - ^, ]/ 1 _ ^^ - ^, |/1 _ ^2 ^^ i/î^C' ' 



d'où résulte .3 = 4(") et Ç = [/l — z^ = 4 (f 'J' — «)• En désignant la 



fonction ^ par 4i (") et faisant y^r — u — v, on aura donc les iden- 

 tités suivantes, 



