Traité de Calcul géométrique supérieur. 



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l'équation différentielle (143) et prenant l'intégrale 



n 



J i/T=:i^J' 



on 



en conclura que la fonction 4(") ^^^'* synectique pour un cercle de con- 

 vergence quelconque. La fonction 4(")i étant reproductive relativement 

 aux racines carrées de 1 [(153)], sera donc développable suivant la série 

 (88) de cette manière [a = 2]: 



4(?/) z= - — — ^ — - 



1 [^ L^ 



. . . . (161), 



les dérivées successives étant calculées d'après la formule -^^''^(Ç)) = -^(--7r\ 



[(159)]. 



La fonction 4i (")i étant irréproductive par rapport à ■y = — 1, 

 sera développable suivant la formule (8G), en observant que 4'i"(^) ~ 4*'''^"(0) 



= ^/'Ij^-TT^ [(10^)]. On aura donc [a = 2]: 



?r . u 



4:(")=l-", + ^-.... 



(162). 



[2 ' [4 



88. "lliéorème d'addition" . En posant z-^ = -^{ii^ et z^ =-^(ii.^)^ 

 on aura, suivant -les formules (115) et (153), pour «r = 2 , »i = 1 , 

 m = 1 et ^ = 1 : 



■Î3 = — 4("i + "2) (163), 



les quantités .., , z.^ et --i devant satisfaire au système (107) ou 



^,K-f<*,c;) = KÏ^^^! 



^2(<*o + ^ivD = Kl-"^^ (164). 



SsK + '^i^D = 1/1-^ 



■De ce système on tire, en éliminant a,^ et en chassant le facteur 

 z\ du résultat, 



-^ = z,z,]z,yY~zi^z,yr^^\ . . . (i65). 



Or, d'après la formule (103) on a 



7 - 



F{Q)= 1 =<.\z\ 



,2 -S 



(166). 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



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