74 Göran Dillner, 



Donc, on aura, en comparant les formules (1G5) et (1 66), le ?Ä(^öremé 

 d'addition suivant 



•a(«,+«,) = ^t(«,)^^, («,)-!- -^OOxt.O,,) . . . (1G7), 



en prenant la racine carrée 1 = a^^z^z.^Zç^ de la formule (166), puisque les 

 égalités (163) et (165) ne seront satisfaites, pour des petites valeurs de u^ 

 et v^ , que sous cette condition. 



Si l'on introduit dans cette formule u^ = t\-\-\7r, on aura le théo- 

 rème d'addition de la fonction -^li^n), exprimé de cette manière [(159)]: 

 4,,(^y^_l.„.^) ^ ,/,^(^,^)^ ^ („,,)_ -4. (^,,)^(,,j . . . (168). 



Remarque. Puisque la formule (164) contient deux paramètres ar- 

 bitraires, les quantités ?<i et v^_ sont des variables indépendantes, et les for- 

 mules (167) et (168) ne présentent que des identités [n" 72, rem. 1]. 



89. Notation symbolique. Si l'on introduit dans la formule (140) 

 la quantité complexe « au lieu de la quantité "réelle" a, on retrouvera les 

 séries (161) et (162). Par conséquent, on pourra faire usage des notations 

 suivantes 



\I (u) = Sin î« ) 



^ ' (169), 



•4-1 {n) = Cos u) 



en observant toutefois que les fonctions sinus et cosinus jouiront d'une 

 signification originaire [celle qui se trouve dans la trigonométrie élémentaire] 

 pour %i = quantité "réelle" , mais d'une signitication symbolique pour u = quan- 

 tité complexe, représentant, dans ce dernier cas, les fonctions simplement 

 périodiques ■i'iii) et ■^i{u) qui viennent d'être déduites et qui s'appellent, 

 à cause de cela, le sinus et le cosinus dans le sens yrnéral. 



En comparant la série (130) avec les séries (161) et (162), on aura, 

 à l'aide des formules (153) et (158), 



e'" = Cos u -+ ^ Sin ui 



(170), 



e '" = Cos u — ^ Sin u) 



ou, qui est la même chose, 



iS>mu = \(e"'—e-"')\ 

 Cos u :^ j(é"-\-e-"")) 

 En comparant les formules (137) et (170), on tirera 



e'"=l (172), 



(171) 



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