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dein- qu'en direction, iSin«. La somme CosH-}-/Sian est aussi, selon 

 la figure, = e'", puisque Cos it et l'Sin?« représentent les côtés du pa- 

 rallélogramme es dont la diagonale est e'". 



Remarque. Pour le cas où a = ou îi = quantité "réelle", la 

 spirale logarithmique e'" se transformera, selon le n" 79, 2', en un cercle de 

 rayon 1 ; alors , cette construction de Cos u et i Sin ti va se confondre 

 avec celle du cosinus et du sinus trigonométrique [voir Geom. kalkyl af 

 G. Dillner, Tidskrift för matem. och fysik, årg. 1868, pag. 212]. 



91. Les fonctions inverses du sinus et du cosinus. Si l'on 

 veut, dans la formule (150), exprimer u comme fonction de : , on posera, 

 conformément à la formule (141), 



u r= Sin-'((z)) = Sin-i(^) f 2;t^ = — Sin"» (,î) + x + 2;c7r ... (174), 



ou, qui est la même chose, 



u = ArcSin((.ï)) = ArcSiu (5) + 2;c^^ = — Arc Sin(,2)+^-l- 2K7r ... (175). 



En ces formules on désigne par les crochets simples la valeur prin- 

 cipale u^ , et par les crochets doubles la valeur générale u de la fonction 

 inverse. 



Quoique la fonction Arc Sin signifie originairement l'inverse du sinus 

 trigonométrique, elle est définie géntralement comme l'inverse du sinus, pris 

 dans le sens général de la formule (169). 



La valeur principale ti,, = Arc Sin {z) étant reproductive par rap- 

 port k y [= — 1], on pourra la développer d'après la formule (88) en 



une série convergente pour .3 < 1 [(145)]. 



92. Puisque, d'après la formule (160), les racines \7r-\-x.7r de 

 l'équation (Sin u)' = Cos m = sont simples, la fonction u = Arc Sin ((.:)) 

 représentera, suivant le n" 64, deux branches égales et symétriquement 

 placées autour de tout point it = 1^7-4- «^tt, les points d'embranchement 

 étant .3 := + 1 . 



93. En vertu de la formule (156), on aura la fonction Arc Cos ((.i)) 

 déterminée de cette manière: 



Arc Sin ((2)) + Arc Cos {{z)) = j^r .... (176) . 



la quantité z étant "réelle" ou complexe. 



