Traité de Calcul géométrique supérieur. 85 



/"' 1 j" p 1 



j u, = —-ce, jv^ = —co, jn,=—p.oo, 

 OU, ce qui est la même chose, suivant les formules (204) et (205), 



1 = 2;(oo) j 



(214), 



107. Développement en série. Puisque, d'après le n" 63, 1", la 

 fonction périodique T(») est synectique pour un champ R, correspondant 



au champ de synecticité P de la fonction f{z) = , il s'ensuit que 



1 -f 2^ 



T{u) sera synectique pour tout point possible , sauf peut-être aux points u 

 qui correspondent aux points z = a^, z = a^ et z - a^. Mais, comme 

 tous ces points sont situés à l'infini, ils ne pourront être renfermes dans 

 aucun cercle de convergence de rayon fini. Au contraire, en faisant 



1 /T» n.'Z 



z = Y dans l'équation différentielle (196) et prenant l'intégrale u' = / -^ 



d'où oo = T{u'), on démontrera aisément que cette valeur u' de u sera 

 finie. Donc, la fonction T{u) aura trois infinis î«', yii' et y^n' [(204)]. 

 À l'aide de la formule (203) [n" 6, rem. 2], le cercle de convergence de 

 la fonction T[^i) aura, par conséquent, une étendue quelconque, pourvu 

 qu'il ne renferme aucun de ces infinis. Donc, on tirera de la formule (88), 

 pour (T = 3, en observant que la fonction T{n) est reproductive par 

 rapport aux trois racines cubiques de 1, 



r(«) = |.r(0)+!^.T"(0) + '^.r-(0) + (215), 



les dérivées r'(O), T"(0) etc. devant être calculées d'après la formule (203). 

 Le développement de la fonction %{i() se déduira immédiatement de cette 

 formule à Taide de la formule (205), 



n' 



Î(k) -^■r(0)-^-T-(0)H-^.r-(0)- (216). 



108. Les inverses des fonctions T(u) et Î(m). Si l'on veut, 

 dans la formule (198), exprimer « comme fonction de z, on aura, confor- 

 mément au n" 98, 



u= T-\(z))= T-\z)-{-l^i."^'!l .... (217), 



r=i y 



