90 Göran Dillner, 



^4 = 3vi , fîj = 3yv, , fie = 3 y- Vi, et, par suite, la somme des multi- 



pies de périodes ^ >c,.ü.^ , a,, représentant un entier quelconque ou zéro. 



»-=1 

 La limite supérieure s, dans la formule (220), considérée comme une fonc- 

 tion V{u) de l'intégrale ?«, sera par conséquent 



z = V(u) = v[v, + z\,.n) = V[y^' . »„ + i'(v,) + 'f K..n,) . . . (227), 



où P(Vi) désigne une ou plusieurs périodoïdes ajoutées à y-' . tto qui 

 est l'intégrale spéciale correspondante. La fonction F(») a, suivant la 

 formule (222), une valeur nulle pour la valeur principale ^^^ = , c'est- 

 à-dire que 



T'(0) = (228) . 



Remarque. Comme la somme 2. >^v^r 'it; peut fixer que les croix 



1 = 1 

 d'un réseau, formé par des triangles équilatéraux, et étendu à l'infini dans 

 tous les sens, le côté de l'un de ces triangles étant 3 v [fig. 14], les six 

 périodes fîi, flg, ..., îî^ pourront être réduites aux deux périodes distinc- 



r - 1 



tes 3v et 3yv, la somme des multiples de celles-ci ov ^)c,y~^ pou- 



)=i 

 vant fixer toutes les croix du réseau en question. Donc la fonction V(u) 

 ne sera actitellemenf que doublement périodique, les périodoïdes étant toute- 

 fois les douze mentionnées ci-dessus ou +Vi , 4:5^^1 > iy"^ii +2^1, 

 ±2yy,, ±2y-w,. 



112. Ensuite, en prenant pour point de départ l'équation diffé- 

 rentielle 



du = "^^— (229) , 



(i+C¥ 



où les trois points d'embranchement sont «i = yi = — - , «., = «i y , 



«3 := «ly-, et où (1 + ^^)^ représente la racine cubique principale, 

 c'est-à-dire, la racine qui sera 1 pour ^ = 0, on trouvera la même pé- 

 riodicité qu'au n" précédent. Donc, en désignant ^, considérée comme fonc- 

 tion de M, par 3!t(«), on aura, conformément à la formule (227), 



l = Si(«) = $8(»o +'f >',■"-) = 5?(:^±Sr„ + P(üO + 'f ;c, n,,)... (230), 



