Tbaité de Calcul géométrique supérieur. 91 



la quantité ü représentant ici la série convergente — F{ — 1) ou 



1 11,1.41 1.4.7 1, ,. ,^,^^,-, ^ , 



1 — 3 • 4 + -32J2 • 7 ~ "PT3- ■ îô "^ ■ • • ■ ^''''"" ^ ^^ ' "' qii'^ntite 



D • [^1 — -] ou 3'.ü,-r. La fonction 5?(») sera donc aussi doublement 



périodique [n' 111, rem.], ayant les deux périodes distinctes 3li et 3 y II 

 et les douze périodoïdes + Uj , ±y»)i, ij^'Uj, ±2ü, , +2yüi, ±25^'üi. 

 Suivant (228) on aura, de plus, 



5!l(0) = (231). 



113. Autres propriétés. V Les équations ditférentielles (219) et 

 (229) peuvent se mettre, en vertu des formules (227) et (230), sous la forme 



r'(n) = îi-ra(»)jî) 



' (232), 



ce qui donne la règle de differentiation pour les fonctions r(«) et 3î(î<}. 



2" En désignant par 1, y, y- les trois racines cubiques de 1, on 



aura, suivant la formule (90), les fonctions , et i étant 



i\-zy (i + C')^ 



irréproductives par rapport à - , 



y 



V(y u) = y V(u) j 



■ (233). 



3.1(7") = ytH^O ) 



Donc, les fonctions F(m) et ^{u) sont reproductives relativement 

 aux tiois racines cubiques de 1. 



3 " Si l'on introduit dans la formule (229) ^ = yi . 2 on aura 

 du = ^-\ , = ^->1^, et, par suite, ^ = 2Î(«) et z = V(^\ . 



Donc, puisque y\ = — _, on aura — y^s{ii) =z V{ — yu) ou, à l'aide 



y 



de (233), 



V(u) = ~t\i-~u) \ 



(234), 



d'où il suit, que les fonctions V[u) et S(?«) jouissent de la propriété que 

 leur som,me sera nulle si la somme de leurs variables indépendantes est nidle. 



