Traité de Calcul géométrique supérieur. 93 



De cette formule on tirera, en comparant la seule racine possible 

 a-i z^z^z^Zi = — 1 avec la formule précédente, et en s'appuyant sur les 

 formules (236) et (232), 



- l\(u,+u,+u,) F(»3) = V'(n,) V\n,) f V(u,) V(v,) V(u,) V'(n,) f V'iiq) V\u,) ...i24:n 



égalité qui exprime le théorème d'additioyi de la fonction 3?(»). À l'aide de 

 la formule (234), on déduira immédiatement de cette formule le théorème 

 d'additioti de la fonction ^(>i) ■ 



En permutant, dans la formule (241), v^ et u^ et, ensuite, n.;. et v^, 

 on aura deux formules nouvelles, exprimant le théorème d'addition de la 

 fonction '$>(»)• Ces deux formules, combinées avec la formule (241), équi- 

 vaudront aux deux équations distinctes (238). 



Remarque 1. Puisque le système (237) contient deux paramètres 

 arbitraires «-^ et a,^ , deux des trois quantités Hj , %i^ , «^ sont des varia- 

 bles indépendantes [n" 72, rem. 1\. Donc, une des égalités qui expriment le 

 théorème d'addition de la fonction Sîî(») étant satisfaite, les autres devront 

 êti'e satisfaites identiquement. 



Remarque 2. Si l'on fait dans la formule (103) c = 1, on aura, 

 à l'aide du système (237) et de la formule (240), une foule de formules 

 bien remarquables [cfr n" 1G6], exprimant les théorèmes d'addition des fonc- 

 tion F(w), 5?(w), et de leurs premières dérivées [(232)]. 



115. Développement en série. Puisque, d'après le n" 63, 1", la 

 fonction périodique 1 (») est synectique pour un cliamp R, correspondant 



au champ de synecticité P de la fonction /(;■) = j^; , il s'ensuit 



que V{n) sera synectique pour tout point possible, sauf peut-être aux 

 points ?( = V, u = y\ et ti = y-\' [n" 113, 4" et (233)], correspondants 

 aux points critiques z= 1, z = y et z = y- [n" 111]; et, actuellement, 

 ces points de la fonction V (ii) sont critiques [des points d'embranchement], 

 ce qui se fera voir parce que la dérivée seconde F" (it) devient infinie et 

 la dérivée première T '(") commence à se ramifier aux points v, yv et 

 y^\ [(232)]. Du reste, la fonction F(») ne sera infinie pour aucune va- 

 leur finie de ii , ce qui se démontrera en faisant ^ = 7 ^l^us la formule 



^ — Ti [voir n" 107]. Donc, ou 



(1 — 7}y 



tirera de la formule (88), pour a = 3, le développement suivant, là fouc- 



