Traité de Calcul géométrique supérieur. 



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et w, par la quantité lui = W^t. Donc ou aura, conforniéraeut à la for- 

 mule (251), eu désignant ^, cousidérée comme fouctiou de ?/, par fß(t<), 



^ = m(u) = 5ek + 1 »^, ß,) - 'niy^'vo + P(wd -fi ;c, ß,) ... (254) , 



la valeur ^ = Ü corresi)ondaiit à la valeur principale u^ = [(252)], d'ofi 



30(0) = (» (255). 



121 Autres propriétés. V Les équations différentielles (246) et 

 (253) peuvent s'écrire, à l'aide des formules (251) et (254), 



ce qui établit la règle de differentiation pour les fonctions W(u) et $lî(n). 

 2' En désignant par 1 , y, y^ les trois racines cubiques de 1 , on 



aura, suivant la formule (90). les fonctions , et 



(256) , 



(257) . 



cl 



étant irréproductives par rapport à - , 



W{yu) ^ylV(u)\ 



m(yn) ==ySSi(n)\ 



Donc, les fonctions If'O') et Sß(») sont reproductives relativement 

 aux trois racines cubiques de 1. 



3" Si l'on pose, dans la formule (253), y\z = Ç, on aura 

 de y\ dz / u\ 



Donc, puisque y\ = — -, on aura — y%(u)^=U\ — yii) ou, à l'aide de 



la formule (257), 



W{u) = — 3Ö(— ")i 



(258), 



^(„) ^ —fr(—u)\ 



d'où s'ensuit cette propriété des fonctions Jf'(i() et Sß(«), (pie leur somme 

 sera nulle, si la somme de leurs variables indépendantes est nidle. 



4" De la formule précédente résulte la règle de differentiation suivante, 



W\u) = (— 1)"^ . 5LV'' (— îO ■. 



(259). 



W" («) = (—1)'-' . //'"'(— w) ) 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 13 



