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98 GÖRAN Dillner, 



5" Si l'on introduit dans la formule (24i;) >j = {l—z")' et, par 



1 dz dri 

 suite, z = (1 — ^y, on aura du = — -j = — — -j et 



^ "^ (1 2^)' (1 >J^)' 



(1 _ :>)3 , (1— -'ji 



r_jL^__ = - r --'^ = r -^—- - f ^'—^^ d'où 



l'on tire .: = W{u) et ;? = (1—2'')'^ = TF(w — ?0, [(250)]. Donc, en dé- 

 signant la fonction yj par ff\{ii)^ on aura les identités suivantes, 



PF'Xm) I- PFf (w) = 1 (260) 



et. en posant w — u = v, 



fJ\(u)^ W(^y-n)| 



} (^til)- 



Donc, les fonctions Jf (n) et Wi(ii) seront des fonctions complé- 

 mentaires l'une de l'autre, comme le sont les fonctions sinus et cosinus. 



À l'aide des formules (256), (260) et (261) on aura la règle de 

 differentiation suivante , 



W'{v) = Wl{u) r= W'(w — u) 



TF; (m) = — W'(n) = — \V\ (w — u) 



règle qui exprime d'une manière élégante et très-simple les dérivées des 

 fonctions W(i() et VFi(«). 



6" Si l'on fait dans la formule (246) ç =- ^ ' ^" ^"''^ 



, dz rf| 



(262) , 



et 



^^ dz 1 pi dj _ 1 , p^ dj __ ni_ài_ } 



*' = y {i-z^f--yj {i~l'f~y\J (i-l¥" ./ (i-l¥^' 



d'où il s'ensuit, puisque 



^1 dz 1 /»" c?| g 



l'on a w = / ^--1 = ~ / 71 — sCTî , ' - et 



par suite C y-i = (1 +y)Av = — y'^w, que z = W {i() et 



,/ (1 — ty 







-= ïr(— 5/-\v — yu) et, par conséquent, en posant tt = yv [(257)] et 

 ayant égard à la période 3w, 



