100 Göran Dillner, 



les quantités z^ , z^ , .Tj , z^ pouvant être combinées trois à trois de toutes 

 les manières possibles dans ces deux équations. 



En éliminant «„ entre les deux premières équations du système (266), 

 et chassant le facteur ,3^ — 2^ du résultat, on aura 



■ ^. 1 — 2;:^2 



Or, d'après la formule (103), on aura 



F(0) = 1 = -(^,,,z,z,zj (269). 



d'où l'on tire, en comparant la seule racine possible a^z^z^z^z^ — — 1 

 avec la formule précédente, et en s'appuyant sur la formule (265) et (256), 



WXu,) WXu, )+ ir(».) Wjy,) W'{»^) W'ju,) ^ W%y,) W'XuQ 

 -m(n,+it,+î(,) W(y^) = l —W'(u,)W'(n.,) "^ ^' 



égalité qui exprime par conséquent le théorème d'addition de la fonction 

 %{îi). De cette formule on déduira immédiatement, à l'aide de la formule 

 (258), le théorème d'addition de la fonction H'(«), et, à l'aide de la for- 

 mule (261), celui de la fonction ]\\[h). 



En permutant, dans la formule (27Ü), v^ et n^, et, ensuite, v^ et ?/, , 

 on aura deux formules nouvelles, exprimant le théorème d'addition de la 

 fonction *B(»). Ces deux formules, combinées avec la formule (270), 

 équivaudront aux deux équations distinctes (267). 



Remarque 1. Puisque le système (266) contient deux paramètres 

 arbitraires cto et ä^, deux des trois quantités u^.'v^ et v^ sont aç.^ variables 

 indépendantes [n' 72, rem. i]. Donc, une des égalités qui expriment le 

 théorème d'addition de la fonction %{n) étant satisfaite, les autres le 

 devront être identiquement. 



Remarque 2. Si l'on fait, dans la formule (103), 2= 1, ou 

 trouvera, en s'appuyant sur le système (266) et à l'aide de la formule (269), 

 une foule de formules bien intéressantes, concernant les théorèmes d'addition 

 des fonctions )l'(")' î\5(«) et W,{v), [cfr n" 166]. 



123. Développement en série. Puisque, d'après le n' 121, 7", 

 !('( — ^v) ~ (y:,, le rayon du cercle de convergence doit être < w. À l'in- 

 térieur de ce cercle, la fonction ir(?/) remplira, d'après le n' 115, toutes 

 les conditions de synccticité. Cette fonction étant, de plus, reproductive par 

 rapport aux trois racines cubiques de 1, on aura, suivant la formule (88) 

 [(T =r 3J, le développement 



