Traité de Calcul géométrique supérieur. 101 



Il nr,/AN 1 «' ..nv /,,\ m' 



W(ii) = '1 . W(0) + - . IV- (Ü) ^ ^ • W^"(0) f (271) , 



les dérivées vr'(O), \V" (0) etc. devant être calculées d'après la formule (2 5 G) 

 ou la formule (262). Le développement de la fonction Sö(») se déduira 

 immédiatement de cette formule à l'aide de la formule (258), et sera 



ilH") = " • ^V (0) — - • W"(0)^- ■ W"'(()) — (272) . 



124. Les inverses des fonctions W{ii), '%[îi) et Wi{u). Si l'on 

 veut exprimer, dans la formule (251), u en fonction de ^, on aura, confor- 

 mément au n' 116, 



n = n--H(-)) = ir '(:■) + 2; ;c,n,. = y±>. W^-'(.:) + P(w0+i^;c,n,....(273), 



OÙ l'on désigne par des crochet« simples la valeur jmncipaîe et par des 

 crochets doubles la valeur générale de la fonction u. La valeur principale 

 TF~'(0), étant reproductive par rapport aux trois racines cubiques de 1 

 [257], sera développable en une série convergente pour 2 < 1 , suivant la 

 formule (88) [a = 3]. 



125. Puisque, d'après la formule (2G2), les racines de l'équation 

 TV (?/) — sont représentées par wy' pour r = 0, 1, 2, en y ajoutant 

 les périodes et les périodoïdes (251), et que toutes ces racines sont, de 

 plus, dovhles [puisque W" {n) est la première dérivée qui ne s'annule pour 

 aucune de ces racines], la fonction W~\{z)) représentera, suivant le n" 

 64, trois branches égales et symétriquement placées autour de tout point ?^ 

 représenté par l'une quelconque des racines en question, les points d'em- 

 branchement étant z = y', pour r = 0, 1, 2. 



12G. En vertu de la formule (258), la fonction Sß~' ((.:)) sera 

 déterminée comme il suit, 



5S-'((,)) + ir->((-3)) = (274). 



De même, la fonction 3ß7'((-)) sera déterminée de cette manière 

 [(261)1, 



SVsHC^))+'^'-HC-0) = ^v (275). 



Remarque 1. On pourrait maintenant, d'une manière toute semblable 

 étudier toute fonction périodique, provenant d'une équation difTérentielle de 



