102 Göran Dillner, 



dz 

 la forme du = ^, en possédant les moyens les plus généraux d'en 



(l+z")" 

 préciser les, propriétés fondamentales, comme la périodicité, le théorème 

 d'addition, le développement en série, etc. Quoique plusieurs de ces fonc- 

 tions nouvelles fussent, sans doute, très-intéressantes à étudier, Tespace 

 restreint de ce traité nous oblige à nous arrêter ici. 



Remarque 2. La fonction simplement périodique et doublement 



e' dz 

 indiquée [n' 55] i = \t (»), provenant de l'équation différentielle du = Zf^ziT^ 



/- e'dz 

 —, ^s pour a = quantité 'réelle", 

 z{z a) 



a étant autre que ou 1 et , de plus , -^. (0) = 1 , aura un intérêt spécial 

 comme fournissant un exemple à deux périodes en raison irrationelle. 

 D'après le n" 63, 1", cette fonction z = '4' (") est synectique pour un 

 champ Ji. correspondant au champ de synecticité P de la fonction f{z) 



_ — ,. Pour un cercle de convergence situé à l'intérieur de ce con- 



"~ z {z — a) 



tour R, la fonction 4("/ ^^'"^ donc développable en une série conver- 

 gente. En formant les coefficients \t (m) = 1 , 4.'(0) == (1 — a)e"\ etc^ 

 [la dérivée -^'(u) étant = -^ (u) \-4, (u) — aje^-^""], on aura donc le dé- 



veloppement 4- («) = 1 +(1 — a)e"' ■ t-I- etc., ce qui montre que la fonction 



■^ (") ne pourra être considérée d'aucune manière comme une constante 

 [voir n" 55, note *]. 



XYIL LES FONCTIONS KEPLERIENNES. 



127. Nous allons maintenant- traiter un groupe de fonctions que nous 

 appelions kepleriennes à cause de leur propriété d'exprimer, entre autres 

 choses, les relations qui existent entre les trois anomalies du problème de 

 Kepler. Ces fonctions sont caractérisées comme celles qui s'appellent ellip- 

 tiques par cette circonstance quelles proviennent d'une équation différentielle 

 où entre un paramètre constant. 



