Traité de Calcul géométrique supérieur. 105 



tion å{i) est privée de période, parce que la fouction (1 — £Cos2;^), 

 sous le signe d'intégration dans la formule (289), n'a pas des points 

 critiques. 



130. La règle de ditférentiation des fonctions K{ti) et å{v) s'ex- 

 primera, d'après les formules (276) et (285), de la manière suivante, 



^'■« = °^'W I (293). 



131. En désignant par 1 et 5^ [= — 1] les deux racines carrées 

 de 1, on aura, suivant la formule (90), les fonctions ^. et (1 -«Cos 2%) 



étant irréproductives par rapport à 



(294) , 



y 



^i-i^ =-Ä(t') i 



d'oii il suit, que les fonctions K{ît) et ^(v) sont repi'oductives ["impaires"] 

 par rapport à — 1 . 



132. Développement en série. Puisque, d'après le n" 60, la 

 fonction K{n) est synectique pour un champ R, correspondant au champ 



de synecticité P de la fouction i-i-^,, il s'ensuit que K{u) sera sy- 

 nectique pour tout point possible , sauf peut-être aux points n = u-^ et 

 ît = î(3, correspondants aux points critiques (p = a-^ et (p = a^: Mais, 

 comme ces points »1 et ^^, ne sont pas des points d'embranchement 

 et que la fonction (p = K{n) ne pourra être infinie pour aucune valeur 

 finie de u [voir n' 115], la condition de continuité \_K' {u) = \2K[ii) 

 = quantité non infinie] étant satisfaite, le cercle de convergence de la 

 fonction ä'(h) aura une étendue quelconque. Donc, on tirera de la for- 

 mule (88), pour (7 = 3, le développement suivant, la fouction K{u) étant 

 reproductive par rapport aux deux racines carrées de 1 , 



/v(») = y/i:'(0)+^'.Ä-(0) +|J.Ä-(0) + (295), 



les dérivées iv (0), Ä' (0) etc. devant être calculées d'après la formule 

 (293) à l'aide de la formule (288). 



Nova Acta Beg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. U 



