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Remarque. Puisque on peut construire, suivant le n" précédent, 

 pour une valeur donnée de v, tant Sin .i' et Cos .f que Sin cp et Cos cp, 

 on pourra aisément, à l'aide des relations (378), construire la fonction 

 A <p ou A am k . 



153. Des formules (375) et (37G) oji tire les égalités k^dn ~ A(p.d.v 

 et kCo&(pdu=i AÇ.dt/, d'où l'on trouvera, à l'aide des formules (378) 

 et (372), 



dx 



égalités qui expriment l'élément d'arc du en fonctions des coordonnées x et 

 y et de leurs différentielles. 



154. Si l'on pose dans la formule (37iJ) 



A'4-/3 = JTT (381), 



on eu tirera, en tenant compte de légalité (375), 



d<p dß 



d'oix il s'ensuit, en ayant égard aux limites de l'intégration. 





r'^it = - r'i^ = ri/3 _ r'^ 



" -/ Acp ^4^ A /3 ^/ a73 •/ A 



dß 



A(p ^4^ A /3 ^{ Ä73 •{ A /3 



ou, qui est la même chose [(363)], 



(0= am (u) \ 



' . (383), 



/ô = am {K~u) i 



Donc, l'angle /3 qui est l'angle complémentaire de x [(381)] est ce 

 que l'on appelle la coamplitiide, dont la construction s'ensuivra directement 

 du n" 151. 



Des formules (370) et (378) on tire immédiatement, à l'aide de 

 la formule (381), les relations suivantes entre l'amplitude et la coara- 

 plitude , 



