Traité de Calcul géométeique supéeieur. -127 



157. Si on pose œ-\-(p = (p^ [voir fig. 16], la formule (370) 



pourra s'éci'ire 



Tg((p,-(p) = k,Tg(p (395), 



où <po variera de ä tt tandis" que (p varie de à Jtt. Selon la "trans- 

 formation de Landen" on aura donc 



_^_ _L_ <^tp o 



^" = Xcp = iT^r Kr=--^fsîn^ • • • ^^^*^^' 



où l'on doit observer, d'après la formule (367), que 1+A-j = 2Cos"y<w 

 et que 



^•o = Y^j^ = Tg^l^ = Sin^o .... (397). 



Alors, si l'on construit pour le paramètre k^ l'arc O^b" A^ = 2 Kg 

 [fig. IG], et que l'on porte sur cet arc l'arc O^b" = ??„ correspondant à 

 l'amplitude (p^ [n" 151], il s'ensuit de la formule (396) que 2ie Cos^l^ = ?^o 

 et par conséquent, puisque Ç^, = tt eu même temps que <p = ^tt, 



K=ni:T-:. ........ (398). 



„-^ 



De la même manière on trouvera K^ = 7=r--TT — , etc., et enfin 

 lim Ä'oo . . . =r Itt = O^B [voir tig. li;]; donc 



^= Cos'|^Cos-|a;o Cos-|«„o--- • • • • (^'^^)- 



La figure (16) nous fournira donc une image très-claire de la trans- 

 formation de Landen. 



Remarque. Si l'on suppose, dans la formule (366), que (>,,^ décrit 

 un cercle, le centre étant à l'origine, on en déduira aussi des formules 

 d'où l'on tirerait une construction géométrique des fonctions elliptiques [voir: 

 En grupp formler etc., af G. Dillnek, Kongl. Vet.-Akademiens Handlin- 

 gar, 1864]. 



