Traité de Calcul géométrique supérieur. loi 



Or, en comparant les formules (360) et (362) et ayant égard à la 

 relation (359) ou lia =1/1 — k-*i- entre les limites de l'intégration, on 

 trouvera, à l'aide do la formule (364), 



r'f (,).!,= /^/(,),/, =, r" , ^ ^;_ = -iK, -(416). 



-f '\ ./ l^l—a'^l—kla' 



Donc, la formule (415) deviendra 



K. \ 



(417). 



^,,, = 2 K— -2 i Kl I 



^, 



. > (419). 



,, = ~2/v — 2/A', \ 



Les valeurs speciales de l'intégrale (412), correspondantes à ces quatre 

 périodoïdes, deviendront suivant la formule (73) 



",1, = %, = «',3. = "(4; = — "o (418), 



la quantité Vg désignant l'intégrale principale. 



Puisque, d'après le n" oT, &),i.a)i ^a.^') ^^ '^a.t) représentent les 

 périodes et que la troisième de ces valeurs provient de l'addition des deux 

 premières, on aura ces périodes distinctes 



.21 = ^,1, ^^(21 = 4/l I 



(1, a) = ^(1) ■^*3) 



160. Donc, toutes les valeurs possibles que pourra recevoir l'inté- 

 grale générale (412) s'exprimeront, à l'aide des formules (414), (417) et 

 (419) par la formule suivante, 



n = (—iy»,-\-2nK^2mîKi (420), 



m et n étant des entiers quelconques ou zéro. La formule (413) pourra, 

 par conséquent, s'écrire de la manière suivante, 



>i = Sin am n = ( — 1)" . Sin am (ii^ -{- 2 nK-\- 2miKi) . . . (421), 



la périodicité de Sin am n étant ainsi établie. 



161. D'après la formule (394) on a 



Sin am^. {in) = i Tg ^xüi^iii) . 



Or, d'après la formule (421) on aura, ^m. et v désignant des entiers 

 quelconques ou zéro , 



Sin am,.Xn() = (- 1)" Sin am,, {iv^ -i 2 t-iv, + 2 ^i/v) = (- 1)" Sin am/(?ro +2 jmK- 2 v iK^), 



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