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d'où il s'ensuit , en posant m = — v et n = fx , 



Tg-am?« = (-l)-"'.Tgani(/^o + 2jii<:-f2m2Ä',) . . . . (422). 



Ainsi est établie la péiioclieité de Tgara«. 



Remarque. La périodicité de Tg ani « se déduira aussi, d'après 

 le n" 159, de l'équation différentielle (3G1). 



162. Puisque Cos am ?« = pp^ , on aura d'après les formules 



(421) et (422), 



Cos am a = (— 1)'" + " . Cos am {n, + 2nK-^2miK^) . . . (423), 

 ce qui établie la périodicité de Cos am». 



, „„ „ . 1, . , . , , C!os am u 



Ibö. ruisnue, d apres la tormule (o84), A am m — ^. /^?- \, 



^ ^ V /' Sinam(/t — ?«)' 



il s'ensuit immédiatement d'après les formules (421) et (423), 



A amw = (— 1)'". A am (»„ -{-2nK -{-2miK,) .... (424) . 

 ce qui donne la périodicité de A am ?«. 



Remarque. La périodicité de A am ?« pourra aussi se déduire, 

 suivant le n" 159, de l'équation différentielle (3(i2). 



Quelques autres propriétés des fonctions elliptiques. 



164. D'après la formule (351) on aura la règle de differentiation 

 suivante pour la fonction am u, 



(am !()' = A am » (425) , 



d'où s'ensuit immédiatement la règle de differentiation des fonctions 8in am», 

 Cos am î«, A am u, etc. 



Puisque, d'après la formule (391) am^. {iK) = too, et par suite 



am^ («Ä',) = i'oo (•126), 



la fonction am u sera développable en une série convergente suivant la 

 formule (88), pour o- = 2, le rayon du cercle de convergence étant <Ä'j. 



165. Des formules (384) et (393) résulteront les transformations 

 suivantes, 



