22'c 



tycklig punkt '). Fcir kurvor af fjärde ordningen med två 

 dubbelpunkter erhålle.s detta antal lika med åtta. Om punk- 

 ten, hvarifrån tangenterna skola dragas, ligger på själfva 

 kurvan, så måste tangenten i den räknas för två, emedan 

 där i själfva verket tvänne tangenter till kurvan samman- 

 falla. Från hvarje af dubbelpunkterna gå därföre, utom 

 dubbelpunktstangenterna, blott fyra andra tangenter; af dem 

 kunna noll, två eller alla fyra vara irnaginära. De former, 

 som kurvan företer i dessa skilda fall, utröna vi genom ett 

 betraktelsesätt, analogt med det, som Schröter använder 

 för kurvor af tredje ordningen utan dubbelpunkt -). 



Vrides en genom den ena dubbelpunkten IJ^ gående 

 rät linie / ett hvarf omkring Di, så skär den i hvarje af sina 

 lägen kurvan, utom i Z>i, i två andra, reella eller konjuge- 

 rade imaginära punkter Py och Po. Dessa sammanfalla i 

 D2', göra de det äfven i andra punkter, så är motsvarande 

 I tangent till kurvan. De reella tangenterna åtskilja tyd- 

 ligen sådana lägen af 1. uti hvilka P^ och Pg äro reella, 

 från sådana, där de äro konjugerade imaginära. 



Till först studera vi kurvor med två verkliga dubbel- 

 punkter och visa därefter, hvilka förändringar i kurvornas 

 utseende äro betingade af att en eller båda dubbelpunk- 

 terna blifva spetsar. 



A. Kurvor med två dubbelpunkter. 



Följande fall särskiljas: 



(a) Frän duhijeljjunkten D^ gå inga reella tmigen- 

 fer till Lurran. Beträffande tangenterna från den andra 

 dubbelpunkten P2 göra vi ännu icke några förutsättningar. 



Vid vridningen af I kring Pj äro P^ och P^ alltid 

 reella, ty vore de för vissa lägen reella, för andra imagi- 

 nära, sa måste mellan dessa finnas något gränsläge, hvarest / 



') Salmon-Fiedler, Ånalytische Geometrie der höheren ebenen Kiir- 

 ven, Art. 67. 



-) H. Schröter. Die Theorie der eheuen Kurven dritter Ordniing 



