229 



få en öfverblick af kurvornas utseende kunna vi för deras 

 framställning med fördel använda en metod, som grundar 

 sig därpå, att man, utgående från lämpliga afarter af kur- 

 vor af fjärde ordningen, på ändamålsenligt sätt upplöser 

 dubbelpunkter så att blott två af dem återstår och att de 

 i hvarje fall önskade kurvorna erhållas. Vi visa tillika, huru 

 de olika arterna kunna frambringas genom konstruktion. 



Kurvor af fjärde ordningen med tvä dubbelpunkter alstrade 

 genom projektiviska stral-involutioner. 



Alstret af tvänne projektiviska strål-involutioner är, 

 som bekant, en kurva af fjärde ordningen med två dub- 

 belpunkter. Att kurvan är af fjärde ordningen, d. v. s. af 

 en rät linie skares i fyra punkter, inses omedelbart, om 

 man betänker, att på hvarje rät linie i strålknippens plan 

 dessa knippen bestämma tvänne förenade projektiviska punkt- 

 involutioner af andra graden, som hafva fyra sig själf mot- 

 svarande element, punkter, och att just dessa punkter ut- 

 göra snittpunkterna mellan linien och kurvan. Topparna 

 för de båda strål-involutionerna blifva dubbelpunkter, ty 

 räkna vi föreningslinien mellan topparna till det ena knip- 

 pet, så skär den sina »bägge motsvarande strålar i det an- 

 dra knippet uti toppen för det andra knippet, hvarest såle- 

 des tvänne kurvpunkter sammanfalla. 



Tvänne strål-involutioner kunna göras projektiviska t. ex. 

 sålunda, att man reducerar dem till enkla polarknippen, 

 hvilka sedan sättas i projektiviskt beroende af hvarandra. 

 Vi upprita alltså en konisk sektion, enklast en cirkel, ge- 

 nom topparna för de båda involutionerna, bestämma po- 

 lerna och fastställa tre godtyckligt valda strålar uti det ena 

 polarknippet såsom motsvarande till tre godtyckliga strålar 

 i det andra polarknippet. Snittpunkterna mellan motsva- 

 rande strålar i dessa tvänne grupper af tre strålar, jämte 

 polerna, bestämma en konisk sektion Ä", som förmedlar 

 projektiviteten mellan båda involutionerna. Uppfattas en tan- 

 gent såsom föreningslinie mellan två oändligt nära hvar- 



