231 



strålen har reella motsvarande strålar. Göras nu ej några 

 vidare antaganden, fås endera af de under 1 upptagna kur- 

 vorna. För att med säkerhet erhålla arten 1 a, så måste 

 topparna stå till tangenterna i desamma i ett sådant förhål- 

 lande som under (h) tidigare klargjorts. Detta kan uppnås 

 utan svårighet. Vi veta att tangenterna i topparna utgöras 

 af de strålar som motsvara toppstrålen, räknad till det ena 

 eller andra knippet. Följaktligen kunna dubbelpunktstang- 

 enterna i t. ex. toppen J\ konstrueras utan kännedom af 

 läget af toppen 2^; detsamma finna vi vara fallet äfven 

 med de tvänne öfriga tangenterna från T^ till kurvan. Till 

 först konstruera vi därföre tangenterna uti och ifrån top- 

 |)en Ti och gifva därefter åt T^ ett sådant läge, att ofvan 

 jiåpekade fordringarna för den önskade arten blifva upp- 

 fyllda. Då befinner sig äfven toppen T^ till tangenterna i 

 T2 uti samma läge som 1\ till tangenterna i Ti, ty om så 

 ej vore fallet, så fordrade den ena dubbelpunktens läge att 

 kurvan hade öglor — den andras, att kurvan vore utan 

 öglor. Kurvan finnes framställd å pl. I. För att ernå större 

 enkelhet i konstruktionen äro polarknippena såväl å denna 

 plansch som å de följande planscherna i perspektiviskt läge. 

 Koniska sektionen Ä' sönderfaller då i tvänne räta linier: 

 perspektivaxeln p och sammanbindningslinien mellan po- 

 lerna. 



Af figuren framgår att den oändligt aflägsna linien skär 

 kurvan i två reella punkter. 



Härå visa vi huru olika species af nu ifrågavarande 

 art frambringas genom upplösning af dubbelpunkter hos af- 

 arter af kurvor af fjärde ordningen ^). Någon närmare ut- 

 läggning af de flesta af figurerna är ej nödig. För att få 

 figurerna, hvilka naturligtvis blifva blott schematiska, i möj- 

 ligaste mån riktiga, bör man gifva akt på inflexionsställena, 

 så att tangenterna i dem skära kurvan blott i en punkt utom 

 inflexionspunkten. Äfvenledes måste observeras att asymp- 



') En analog metod kan anväcdas äfven för ytor. Se Klein, 

 Uber Flächen dritter Ordnung, Math. Ann., Bd VII. 



