243 



Härå behandla vi i korthet 



B. Kurvor af fjärde ordningen med en dubbel- 

 punkt och en spets. 



Tidigare har framhållits, alt till en kurva af n:ie ord- 

 ningen med ()■ dubbelpunkter och x spetsar kunna dragas 

 }i{)i — 1) — 2ö — oy. tangenter från en godtycklig punkt. 

 För nu i fråga varande kurvor äro dessa tangenters antal 

 således sju. Välja vi själfva spetsen till den punkt, hvari- 

 från tangenterna skola dragas, och observera, att uti åter- 

 vändstangenten i spetsen tre tangenter sammanfalla, så finna 

 vi, att från spetsen gå, utom tangenten i den själf, fyra 

 andra tangenter till kurvan. Af dessa kunna noll, två eller 

 alla fyra vara imaginära. Vi undersöka huru kurvans ge- 

 stalt beror häraf. 



(«) Från spetsen gå inga reella tangenter. 



En rät hnie I, som vrides kring spetsen S, måste i 

 hvarje af sina lägen skära kurvan, utom i S, i två andra 

 punkter P^ och P^. Då I sammanfaller med återvändstang- 

 euten i *S'. faller en af dessa punkter i spetsen. Följderna 

 af punkterna Pi och P^ måste uppenbart utgöra tvänne 

 fullständiga branscher, af hvilka den ena är behäftad med 

 en spets (S). Båda branscherna skäras af I i ett udda an- 

 tal punkter. Branscherna gå genom dubbelpunkten D från 

 halfplanet på ena sidan om DS till halfplanet på andra si- 

 dan om densamma och kunna icke träffa SD i andra punk- 

 ter än S och 1): således måste de sluta sig genom oänd- 

 ligheten. Kurvan består följaktligen af tuänne serpentiner. 



(b) Från spetsen gå två reella tangenter. 



Kurvan bör helt och hållet ligga inom ett och samma 

 par af tangenterna bildade vinkelformiga gebit och bestå 

 af en fullständig bransch. Den skares af linien I i ett jämnt 

 antal punkter, är således en oval. 



(c) Från spetsen gå fgra reella tangenter. 



(ci) Dubbelpunkten och tangenten i spetsen ligga inom 



