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Ln = — :-— P(r — n) . 



V ' I • A ■ ■ ■ 11 



Cela pose, si nous désignons encore par C'i le nombre 

 des arrangements ou il n'y a coincidence que pour une seule 

 des boules a^, aji,- • •««!, par C^ celui des arrangements ou 

 il n'y en a que pour deux, et en general par C, le nombre 

 des arrangements qui impliquent des coincidences pour i de 

 ces boules mais pas pour les n — i autres, les quantités Ci et 

 Gi seront liées entré elles par les relations 



Ci = C, + 2C, + 3C3+4(;,H VnCn. 



^3= • Ö3+(^)C,+ -.-+(-)Ö„. 



En observant qu'on a généralement 



'^•-© + ©-©+•••±1 = 1, 

 formule qu'on obtient en développant (1 — 1)'', on en tire 



6\ - Co + C3 + Cn = 6\ + c; + 03 H \- Cn . 



Or, le second membre de eette équation représente exacte- 

 ment le nombre de tous les arrangements 011 il y a en ge- 

 neral coincidence soit pour une, soit pour plusieurs bou- 

 les du premier groupe. En diminuant P{r) de ce nombre 

 et mettant pour C^, Cg, C3 • • • leurs valeurs précédemment 

 trouvées, on obtient donc pour le nombre P^ (r) des arrange- 

 ments qui n'offrent pas de coincidence pour les n premiéres 

 boules, Texpression 



(1) P, (r) -=P{r) - "^ P{r - 1) + ^ '^~^^' P(r - 2) 



±1 . 2 • 3 ••• nP(r — «)»). 



^) Pour r = n, c'est a, dire lorsque toutes les boules sont mar- 

 quées du méme numéro, on doit avoir Pj (r) = P^ (n) = 0. Pour que 

 la formule (1) subsiste dans ce cas, il faut attribuer au symbole P(0), 

 qui en lui-méme n'a aucun sens, la valeur P(0) = 1. 



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