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aucune d'entre elles. Ce nombre s'obtient éviderament eri 

 relranchant de P^ (r) le nombre des arrangements qui 

 admettent des coincidences pour une ou plusieurs boules 

 öfi2jö^22r • -(^n^i du second groupe, tout en remplissant la con- 

 dition de n'en pas admettre pour celles du premier. Suppo- 

 sons qu'on ait assigné ä la boule a^ une place quelconque 

 dans la deuxiéme. rangée, c'est ä dire parmi celles qu'on 

 iait sortir en comptant n fois 2; le nombre des arrange- 

 ments qu'on peut effecluer, dans les conditions indiquées, 

 avec les r — 1 autres boules, s'obtiendra en substituant r — 1 

 ä r dans Texpression (1); il sera donc 



P, (>■ - 1) = P(r - 1) - f P{r - 2) + ''" ^^ -^^' P(r - 3) - ■ • 



La somme des expressions de ce genre qu'on obtient en 

 assignant ä «,2 successivement cbacune des n places de la 

 deuxiéme rangée et faisant en méme temps varier i de 1 ä 

 7^, est 'n? P^ {r — 1). Si Ton assigne ä deux boules quel- 

 conques a^ , O-ia du second groupe des places déterminées 

 dans la deuxiéme rangée, le nombre des arrangements 

 qu'on peut faire avec les autres boules, en écartant les 

 coincidences relatives ä celles du premier groupe, sera de 



^2 (lyi^ |^2 



méme Pi (r — 2); et comme il y a en tout — ^ 



1 * ^ 



iiianiéres distinctes d'arranger deux des n elements a^a, 



«22i"--ö^H2 comme nous venons de le dire, la somme des 



11^ (it 1)^ 



expressions de ce genre sera — ^^ — Py (r — 2). De 



méme la somme des expressions analogues pour le cas ou 

 l'on a fixé trois des elements du second groupe, sera 



n"^ (n — If in — 2Y „ „, . . , . ,. . . . 



— ^ —^ ^ P^ (r — 3) et ainsi de suite. Mais ici 



1-2-3 



encore les arrangements compris dans les différentes som- 



mes ne sont pas tous distincts. En éliminant ceux d'entre 



eux qui font double emploi, par la méthode expliquée plus 



haut, et retranchant le nombre des arrangements restants 



