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Pj i^r - n) = P {>■ -,n-jP(:r-n- 1) + — J^^'P(r- n-2) 



±1 • 2 ••■ nP{r—2n). 



En substituant ces valeurs de P^ (r), P^{r — 1), • • • 

 dans la formule (3), on obtient pour Pg W une expression 

 linéaire en P(r), P{r— 1), P(r — 2),- • •P(r — 2n) et^Pon 

 voit sans peine que les coeffieients des différents termes 

 de cette expression sont identiques ä ceux des puissances 

 successives de x (ä commencer par x°) dans le développe- 

 ment du carré du polynome 



. n- . n- (il — 1)- , I 1 o o n 



1 X H ^ X- — ■ • ' -rl • 2 ■ å ■ ■ ■ nx . 



1 ' 1-2 



Par un raisonnement semblable on déduit Pg (r) de Pz (r) 

 et ainsi de suite, et Ton trouve qu'en general Pk (r), ou 

 1 < Ä: < p, peut s'exprimer par une serie procédant sui- 

 vant P(r), P(?- — 1), • • • P(r — nk), dont les coeffieients 

 sont les mémes que ceux de la serie qu'on obtient en déve- 

 loppant la ¥^"'^ puissance da polynome précédent. 



On arrive ainsi, en dernier lieu, au resultat suivant. Soit 



1 — i\^i x-\- N2X- — • ■ • ± N^x,. 

 la serie qu'on obtient en développant 1'expression 



n- . n"{n — iy , ; . o u «V 



1 X -\ ^ X- — • • • + 1 • 2 • .-} • • • M.T 



1 ' 1-2 ■" / 



suivant les puissances de x, on aura 



Pp (r) = P (r) - N, P(r ~ 1 ) -f K, P(r-2) ± iY,. 



et la probabilité pour ne rencontrer aucune coincidence, 

 en faisant sortir toutes les boules, sera 



^_-'^_^__^yj + Nr 



r ' r{r-l) 1 -2 -S ■•■ r 



Dans le cas particulier ou Ton n'a qu'une seule serie 

 de boules, marquées de 1 jusqu'å r, on aura n =: 1 et les 

 quantités iV"i, iVj, iVg- • • ne seront, au signe prés, autre 



