Extrait d'une lettre de M. Ch. Hermite, 



aclressée ;i L. Lindelöf. 



Paris 21 Décembre 1899. 



L'identité dont vous vous contenlez de dire qu'elle vous 

 semble assez curieuse pour meriter d'étre signalée en pas- 

 sant 1), ä savoir: 



(r — n) [r — n — i) • • • {r — 2n-{-l) n^ ,1 n^ (w — 1)^ 



. r (r — 1) ■ ■ • (r — n-\-l) ~ r 1 • 2 r{r—l) ' 



est liée étroitement ä la théorie des polynomes P„ (x) de 

 Legendre, et ouvre une nouvelle voie pour parvenir ä leurs 

 propriétés fondamentales, que je me permets de vous indi- 

 quer en peu de möts. J'y apporte d'abord une modification 

 légére, en changeant r en r — ■ 1 et divisant les deux mem- 

 bres par r, de sorte qu'eUe prend cette nouvelle forme 



(r — n—l)(r — 'n — 2)---{r — 2n) _\ . n- . I n^ (n — 1)^ 



^' r(r — l)---(r — w) ~r j^— i) ^ i 2 ' r (r — 1) (r — 2 



Cela étant, on en tire aisément 1'égalité 



^r-n-l){r- n_-2)...{r~2n) ^r _ , _ fp ^^w^ ^ ^^r -n-i ^^^. 

 r{r—l)...{r — n) j " 



— 1 



ou bien, si Ton pose r =^s -\-n-\- 1 , 



(s + l)(s + 2,...(s + n + i)' 



^) Dans Farticle précédent de ce méme reciieil: Uu probléme dii 

 calcul des probabilités. L. L. 



