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ce qui montre que Tintégrale du second membre est nulle 

 en supposant s = 0^ 1 , 2, ■ • ■ n ~ I . 



Je parviendrai ä cette conséquence de la relation que 

 vous avez donnée, au moyen de Texpression des polynomes 

 de Legendre, indiquée par Dirichlet, avec plusieurs autres, 

 au debut de son celebre mémoire sur les series dont le terme 

 general dépend de deux angles, 



Pn (cos y) = cos-" ^ I 1 — n,-" tång- 1 + »/- tång* ^ 



oii rik désigne le coefficient de x^ dans le développement de 

 (l+ic)**. En posant cos y = x , on en tire: 



=2(-lVS.,Hl+:r)"-''(l-..f, 

 (/v = 0, 1, 2, ••• 7i): 



c'est la formule dont je vais faire usage. Elle s'offre comme 

 d'elle méme, si Ton éerit Péquation (A) de cette maniére: 



(r-~n — l)(r — n — 2)---(r — 2n) \^ , ^vn , 1 • 2 • ■ ■ k 



^{~n"n, 



r{r — l)---{r — n) ^^ ' " r {r — i) ■ ■ ■ {r — k) 



1 . 2 ••• yl- 

 et qu'on remplace le facteur 77 — par Tintégrale 



'- '^ r (r — J) • • • (r — -k) '^^ ° 



1 



Eulérienne Jx''-^'~'- (1 — xfdx , ou plutöt par la transformée 



o 



obtenue lorsqu'on met — au lieu der». Nous avons ainsi: 



-fl 



il' 



'■'■■■" . = :'.. I (,+.f-'-'(l-..)'-d, 



r(r—\) • • • (r — k) 



- l 



et par conséquent cette nouvelle forme de Tégalité précé- 

 dente, ä savoir 



+_\ 



n — 1) (r -n — 2)". (r — 2n) 



r [■)■ — 1) • ■ • (r — n) ■ 2 



'1 



lrjY,^'f^hn'+-y"-'-'i^—yäor 



