63 



Det påstås att man har allmänt : 



A-m --2== Ash _ o 1 

 2A5n-l=A3„_i (5) 



ArjM ^^^ A3,j j 



Vi sluta från n till 7i-\-l. Vi anta, att vi visat, att 

 eqv (5) gälla för alla tal till och med n=m — 1, samt 

 att dessutom de två första af (5) gälla för n = m. 



Enligt eqv. (2) i denna och (6) i föregående § ha vi å 

 ena sidan successivt: 



A5„, =(l2m-\-6) A5m-i + A3«-2, 



Aöm + 1 = (3»J + 2) Aöm + Ar,m - 1, 

 Aöw + 2 = (3wi + 3) Å-y,>, + Asm - 1, 

 Aöm + 3 = (Bwi -\- 5) A-,„ + 2A-j,n - I, 



As», -I- 4 = (3m -|- 3) Aöm + 3 + (3m. + 3) Asm H- Aöm - 1, 



och enligt eqv. (4) och (5) å andra sidan: 



-A-3jn — 2 -^ -Aöm _ Oj 



■A.3m — 1 = ^Afjm — 1, 



A3,,, = (6>n -|- 3) Aa,,, _ 1 + A3m - 2, 



= (1 2wj -|- 6) A5„, _ 1 + Aöj» -2 = A5,,,, 

 A3,,, j- 1 = {6vi 4- 5) Asm 4- Å-3,„ _ 1 



= {6m -4- 5) A5,,, 4- 2A5,„ _ 1 = A5« + 3, 



Asm + 2 = (fim -\- 7) A3m + 1 + A2,„ 



= 2 { (3m + 3) Aö,» + 3 + {^m + 3) Aö,» + A-„n _ 1} 

 =^ ^A-)i)t -}. 4. 



Ur dessa eqvationer framgår, att eqv. (5) gälla för 

 n = m-^l, på samma sätt, som de gälla för n = m. 

 Nu gälla de för n= 1, ty vi få direkte 



rA3 = 2 (A, = 2 (63 = 5 \B,=6 

 J A, = 7 |A2=14 b, = 18 B., = 36 

 [ A, = 128, I A3=128, I 65 = 329, | B3 = 329, 

 således gälla de allmänt för alla hela tal m. Ifrågavarande 

 kedjebråk hafva således oändligt många lika stora konver- 

 genter och äro därför lika stora. Relationen (1) är därmed 

 bevisad. 



