J. W. Lindeberg. 



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"Wenn nun c im Yergleicli mit allén Kurven der Gresamtheit 

 Tqq' Extremnm ergeben soll ist es notwendig, dass die Funk- 

 tion E{x, y, y',p) im Bereiche 



X < X 



X 



y = y{^), \y' — y'ix) \ <q', v = y'{x) 



ihr Vorzeiclien nicht ändert. 



Im Folgenden wird gezeigt, wie man in ganz elemen- 

 täror "Weise, durch die Betrachtung einer einfachen speziellen 

 Variation, die Notwendigkeit der obigen Bedingungen bewei- 

 sen känn. Hierbei wird vorausgesetzt dass e eine liberall 

 reguläre Kurve ist, die keine mit der F-Achse parallele Tan- 

 gente zulässt, und dass die^Funktion F {x^ y, y') in der Umge- 

 bung aller in Betrackt kommenden Argumentwerte eine regu- 

 läre analytiscke Funktion ist. 



2. Es seien x-^ y^, x^ y^ und x^ y^ {x-^ <i x^ <_ x^) die 

 Xoordinaten dreier Punkte 1, 2 und 3 von c, x^ y ^ die eines 

 vierten Punktes 4, der so liegt, dass x^^x.^^ und x^y^, die 

 des Schnittpunktes 5 zwischen der Geraden 2 4 und der Sehne 



1 3 

 die 



von c 

 sonst 



(fig. 

 mit 



1). Mit c' werde ferner die Kurve bezeichnet, 

 c zusammentallt, zwischen den Punkten 1 

 und 3 aber längs der aus den 

 G-eraden Strecken 14 und 43 

 zusammengesetzten gebrochenen 

 Linie verläuft, und es werde, 

 wenn m und n irgend welcke der 

 r Zaklen 1, 2, 3 und 4 bedeuten, 



Fig. 1. 



Vr^ 



*^tn " ^t 



= y' 



gesetzt. Schliesslicb mogen die A¥erte des Integrals (1) iiber 

 die Kurven c und c' erstreckt mit resp. I^. und I^, bezeichnet 

 werden. 



Indem wir 



(2) 



y^ — ys 



*Å/ q "^ 1 



setzen denken wir uns jetzt dass, während der Punkt 2 fest 



