N:o 2] Eine Bemerkung iiber die Variationsrechnung. 3 



bleibt, die Figur 143 in der "Weise verkleinert wird, 

 dass x^ — x^ = x^ — x^, und sowoU diese beiden Differeuzen 

 als die Grösse x unendlich klein werden. An der Grenze 

 fallen dann off enbär die Riclitungen 14 und 43 mit der 

 Richtung der Tangente von c im Punkte 2 zusammen, und 

 wir können somit bekaupten dass, wie klein auch die Grös- 

 sen o und q' seien, die Kurve c' dock sckliesslick der Ge- 

 samtkeit Tqq' angekören muss. 



Wenn nun y = y ^ ^{x) und y =zy ^^{x) die Gleickungen 

 der Geraden 14 und 43 sind, so kat man offenbar 



(3) Jc' — le = S^ix, y,,(x), ij\i) dx + jF{x, y^^ {x), y\^) dx — 



Xl Xi 



jF(x,y{x),i/{x))dx. 



Bezeicknet § einen gewissen Wert von x zwiscken x^ und 

 ajg, so ist das erste Integral reckts gleick 



was gesckrieben werden känn 



-^(^-'2, 2/2, y'u){X2 — X,) + [F{'i, yu (^-), y'u) — F{X^, 2/2, Ij' u)] (^2—%) 



Der Ausdruck in Klammern wird offenbar von mindestens 

 der ersten Ordnung mit x.^ — x^ Null, und, wenn [{x^ — Xri)^] 

 eine Grösse bezeicknet, die von mindestens der zweiten Ord- 

 nung mit Xm — Xn NuU wird, ergiebt sick also 



jF{x, tju(x), y\i) dx = F {x^, 2/2, y'u) ix2 — x^) + [{x., — XiYl 



Xl 



Die tibrigen Integrale von (3) lassen sick in analoger AVeise 

 zerlegen, und wir erkaiten somit 



\c —\c= F{x^, yi, i/\i) {X2 — Xi) + F{x2, 1/2, 1/U3) {X3 — Xi) — 

 F{Xij 2/2, y\z) {xz — ^1) + [{X2 — ^1)']. 

 Beackten wir, dass 



