4 J. W. Lindeberg. [XL VII 



?/'i4 - y\z = y'n — y'u = ^, 



können wir also schreiben 



Ic' — Ic = [F{Xi, Vi, y\z + Jt) + -f'(«2, y%, «/'i3 — 5<) — 2 F{x^, y^, y'n)\(,^i — x^ 



oder noch 



X ' — I = r -^fe> y^, y'i3+^) + Fjx,,, y^, y'i3 — x) — 2 F{Xi, y^ , y',^)']^', (jc^_jp^) 



Lassen wir jetzt x i der Weise mit x^ — x^ unendlich 



kleiri werden, dass x^ von niedrigerer Ordnnng als der ersten 



Nnll wird, so erhält, wenn x^ — x^ liinreichend klein wird, 



die Differenz ic' — Ic das Yorzeichen des ersten Gliedes 



des obigen Ausdruckes. Der Ansdruck in Klammern erhält 



d'^ F 

 aber an der Grenze den Wert 'rr-jTj^{x^,y^,y'{x^)). Wenn die 



d'^F 

 Ableitung ^— ^ auf c versckiedene Vorzeiclien annimmt, känn 



man also, wie klein auch. q und q' seien, sowokl solche, der 

 Gesamtheit Tqq' angehörige Kurven finden, die die Differenz 

 Ic' — Ic positiv macken, als auck solche, die ihr negative 

 "Werte erteilen. Wir erhalten somit den Satz : 



Damit die Kurve c ein Extremum ergehe, ist es notwen- 

 &^ 



dy' 



3. Die zweite im Anfang genannte Bedingung ergibt 

 sich wie folgt. 

 Wir setzen 



ty* /yt ' /yt _^^_ /y» 



lA/ Q " '" t/y n tXy g *Ay -t 



und, indem wir fortwährend den Punkt 2 fest halten, den- 

 ken wir uns die tibrigen Punkte in der Weise beweglich, 

 dass x^ — x^ und x unendlich klein werden, die Grösse h 

 aber einen bestimmten endlichen A¥ert behält. 



dig, dass die Ableitung ^y-y^ ctuf c dasselbe Vorzeichen hehält. 



