N:o 2] Eine Bemerkung iiber die Variatiousrechnung'. 5 



Ans der Definition von x nnd k lolgt 



(4) y'n — y\i = ^ , y'u — y\z = ^ , 



was uns zeigt, dass, bei der angegebenen Verkleinerung der 

 Figur 143, die Grösse y^^ an der G-renze in y'{x.i) ubergeht, 

 der Grenzwert von y\i sich aber Ton y'{x2) um die endliche 

 Konstante k unterscheidet. Wenn \ k \ < q' wird jedoch, 

 wie klein auch q sei, die Kurve c' schliesslicli der Gesamt- 

 lieit Tqq' angehören. 



Wenn man nun die Integrale der Gleichung (3) in geeig- 

 neter Weise zerlegt, erhält man aus derselben 



le' — Ic = [Fix^, y-i, y\i) — : F{x^, y^, y\^)\ (x^ — Xy) — 

 [F{x^, y^, y\,) — F{x^,y„ t/'»)] (»"a — la:,) + [(=»3 — a^J']. 



Beachten wir, dass 



ergibt sich hieraus 



Ic' - Ic = \f{x^, y^, y'u) — F{x.„ y^, ^la)] | i^^ — =^2) - 

 \F{Xi, i/2, y\^)—F{x^, «/„ «/'43)J(a?3— a?2)+[(a^3 — x^f^, 

 was auch wegen (4), geschrieben werden känn 



ic - Ic == \_[f {x^, y^, y\^ + ^) — F{x^, y^, y\^) ) — 

 ^ (F{x^, y,,y\d-F{x,, y„ y'„i:^j j ^^ (^^ _ ^^) + [(^^ _ ^^)2]. 



Setzen wir jetzt z. B. x-={x^ — -^2)'^'; ^^ erhält offen- 

 bar, venn x^ — x^ hinreichend klein ist, die Differenz Ic' — Ic 

 das Vorzeichen des ersten Gliedes der rechten Seite in der 

 obigen Gleichung. Der Ausdruck in Klammern geht aber 

 an der Grenze in E {x^,y^,y'{x^) -\-k,y\x^)) uhev. Wenn 

 nun die Funktion E {x,y,y',p) im Bereiche 



