144 



14) Zieht man durch einen zwischen zwei Parallelen gelegenen Punkt eine 

 gerade Linie, von welcher man das Product ihrer Teile kennt, so ist die flerade 

 der Lage nach l)ekannt. — 21) Werden auf der Peripherie eines Kreises zwei 

 Punkte angenommen und durch diese gerade Linien gezogen, die sich in einem 

 andren Punkte der Peripherie schneiden, und verbindet man ausserdem die bei- 

 den gegebenen Punkte, so werden, wenn die Grösse des gebildeten Dreiecks 

 l)ekannt ist, auch die beiden gezogenen Linien der Grösse und Lage nach be- 

 kannt sein. — 24) Sind zwei Kreise gegeben, so ist die Tangente an beide 

 der Grösse und Lage nach bekannt. 



Wie aus dem Mitgetheilten ersichtlich, handelt es sich also um geometrische 

 Oerter und zwar sind die in Frage kommenden die einfachsten, welche es giebt, 

 nämlich Kreise und gerade Linien. Wenn Alhazen von ihnen behauptet, sie 

 seien von keinem älteren Geometer untersucht worden, so ist diese Behauptung 

 wenigstens der Sammlung des Pappus {^waycoyal fiad^i^fiatixat) gegenüber nicht 

 richtig, und wir müssen mit Cantor aus derselben schliessen, dass diese Samm- 

 lung bei den Arabern allmählich in Vergessenheit geraten sein muss wegen der 

 Schwierigkeiten, die sie den Gelehrten bereitete, und dass Alhazen sie auch 

 nicht gekannt hat, denn einen so bedeutenden Mathematiker dürfen wir um so 

 weniger absichtlicher Unwahrheit zeihen, als er häutig genug Werke anderer 

 Gelehrten citiert, sobald er ihre Untersuchungen benutzt hat. 



Die eben besprochene Schrift ist die einzige mathematische, welche wir 

 vollständig kennen. Ausser ihr ist nur noch eine im Auszuge von Woepcke 

 in: L'Algebre d"Omar Alkhayyami (Paris 1851) mitgeteilt. Es ist dies die 

 Lösung der von Archimed gestellten Aufgabe: Auf einer Geraden (Figur 1) 

 DZ sind die Punkte B und T derart gegeben, dass man die Entfernungen DB 

 und BZ so wie das Verhältnis BZ : ZT kennt. Es soll der Punkt H derart 

 bestimmt werden, dass 



HZ : ZT := BD^ : DH^ 



Alhazen löst diese Aufgabe, indem er in D, T und Z die Lote DA, TE und 

 ZC errichtet, welche sämmtlich gleich BD sein sollen. Dann legt er durch E 

 eine Hyperbel mit den Asymptoten CZ und ZD und construiert eine Parabel, 

 deren Axe DA, deren Scheitel D und deren Parameter DB ist. Fällt mau 

 dann vom Durchschnittspunkt dieser beiden Linien ein Lot auf die gegebene 

 Gerade, so ist der Fusspuukt desselben der gesuchte Punkt H. Es ist also 

 diese Aufgabe mit Hilfe geometrischer Construction gelöst. Würde man der 

 Reihe nach DB, TZ, DZ und DH bez. mit a, b, c und x bezeichnen, so würde 

 sich herausstellen, dass die vorgelegte Aufgabe gleichbedeutend ist mit der- 

 jenigen X zu bestimmen aus der Gleichung 



c — X : b =: a* : x^ oder aus 

 x' (c — x) ^= a' b. 



Würde man ferner D zum Anfangspunkt des Coordinateusystems wählen, so 



