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Die reellen Doppelpimkte (Grenzpunkte), welche die 

 liyperbolische Kreisschaar auf der X-Axe bestimmt, sind die 

 Itepräsentauten der imaginären Doppelpimkte, welche die 

 elliptische Kreisschaar auf der Y-Axe bestimmt. 



2) Es sollen die imaginären Schnittpunkte der Di- 

 rectrix eines Kegelschnitts mit dem Kegelschnitte selbst 

 geometrisch dargestellt werden. 



Nach einer vorhergehenden Bemerkimg (Seite 155) ist 

 die Lage der die gesuchten Schnittpunkte repräsentirenden 

 Punkte in Bezug auf den Kegelschnitt unabhängig von der 

 Wahl der Coordinaten-Axen, Wir wählen daher die Direc- 

 trix zur Y-Axe und die durch die Brennpunkte gehende 

 Gerade zur X-Axe. Es bezeichne e die numerische Ex- 

 centricitet des Kegelschnittes, öder das Verhältniss der Ent- 

 fernung eines Punktes des Kegelschnitts vom Brennpunkte 

 zu seiner Entfernung von der Directrix und m bezeichne 

 die Abscisse des der Directrix am nächsten liegenden 

 Brennpunktes. Unter diesen Voraussetzungen lautet die 

 Gleichung des Kegelschnittes 



y'- + (x — m)2 — e2 x2 = 0. 



Fiir die Schnittpunkte desselben mit der Directrix, d. 

 h. mit der Y-Axe ergeben sich die Coordinaten 



X = 0, y = + im. 



Die geometrischen Repräsentanten dieser Punkte sind 

 zwei auf der X-Axe in der Entfernung + m vom Anfangs- 

 Ijunkte liegende Punkte, von welchen also der eine mit 

 (lem Brennpunlde des KegelsdiniUs isusamnienfäUt. 



Auch durch rein geometrische Schliisse kommt man 

 zu demselben Resultate. Die Directrix ist nämlich die 

 Polare des Brennpunktes. Die Brennpunkte aber Averden 

 in der projectivischen Geometrie als die Punkte der Ebene 

 eines Kegelschnitts definirt, von welchen die Involution 

 harmonischer Polaren eine rechtwinklige ist. Durch diese 

 Involution wird auf der Polare des Brennpunktes, d. h. auf 

 der Directrix, eine Punktinvolution ausgeschnitten, deren 



