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Das sogenannte Parallelenaxiom (eigentlich das fünfte Postulat in Euklids Elementen) 
hat schon seit dem Altertum die Mathematiker und Philosophen vielfach beschäftigt. Die auf- 
geworfene Frage ist die, ob dieses Postulat eine logische Folge der übrigen von Euklid aufgestellten 
Definitionen, Postulate und Axiome sei, oder nicht, d. h. ob der Inhalt dieses Postnlates nicht viel- 
mehr unter die Lehrsätze, als unter die Postulate (bezw. Axiome) gehöre. Die Versuche, einen 
Beweis für das Postulat zu erbringen, sind fast ebenso zahlreich gewesen, wie diejenigen, welche 
zur geometrischen Lösung der Quadratur des Kreises gemacht wurden, und ebenso vergeblich. Erst 
durch die Arbeiten von Gauss, Bolyai, Lobatschewsky (ca. 1855), Riemann (1854), v. Helm- 
holtz (1870) ist man in unserem Jahrhundert sich darüber vollkommen klar geworden. Da alle ver- 
suchten Beweise missglückt waren, lag es nahe, einen indirekten Weg einzuschlagen: War das 
fragliche Postulat ein Lehrsatz, so stand zu erwarten, dass man zu inneren Widersprüchen geführt 
werde, talls man dasselbe durch ein anderes Postulat ersetzte und auf Grund eines solchen mathe- 
matische Schlüsse zu machen suchte. 
Eine unmittelbare Folge des fünften Postulates von Euklid ist der Satz, dass man in der 
Ebene durch einen gegebenen Punkt zu einer gegebenen Geraden nur eine Parallele ziehen könne. 
Gauss, Bolyai und Lobatschewsky nahmen im Gegensatze dazu an, dass zwei solche Parallelen 
möglich seien, und zeigten, dass die dann zu ziehenden Folgerungen zwar mit unserer Anschauung, 
aber nicht unter sich in Widerspruch stehen. Die so aufzubauende, in sich konsequente Geometrie, 
welcher in der Wirklichkeit die uns bekannten Figuren nicht entsprechen, ist unter dem Namen der 
absoluten oder nichteuklidischen Geometrie besonders durch die populären Vorträge von 
v. Helmholtz allgemein bekannt geworden. Bei dem nicht mathematischen Publikum ist sie 
gleichzeitig nur allzu oft verkannt worden; insbesondere haben zahlreiche und angesehene Philosophen 
ihretwegen den Mathematikern den Vorwurf eines unklaren Mysticismus gemacht, aber nur deshalb, 
weil sie nicht die nötigen Vorkenntnisse besassen, um Zweck und Sinn der nichteuklidischen 
Geometrie zu verstehen. Ob der Inhalt eines Satzes beweisbar oder nicht beweisbar ist, muss für 
die Mathematik als eine Frage fundamentalster Wichtigkeit erscheinen. Wenn wir zur Entscheidung, 
dieser Frage etwas Unmögliches voraussetzen (nämlich durch die erwähnte Abänderung des Parallelen- 
axioms), so thun wir nichts anderes, als in der Mathematik bei jedem indirekten Beweise geschieht; 
und nur offenbarer Unverstand kann ein solches Vorgehen bei dieser einen Frage verwerfen, während 
es bei so vielen anderen in Gebrauch ist. Das Wesen der indirekten Beweise beruht darauf, dass aus 
einer gemachten Annahme mathematische Schlüsse gezogen werden, deren Inhalt mit bereits sonst 
bewiesenen mathematischen Sätzen im Widerspruche steht, so dass dadurch die Unzulässigkeit der 
gemachten Voraussetzung erhellt. Man hätte also erwarten müssen, dass auch die nichteuklidische 
Geometrie zu einem mit den sonstigen Voraussetzungen der Geometrie nicht verträglichen Resultate 
führe. Dem ist aber nicht so; allerdings könnte man denken, dass bei hinreichend weit fortgesetzter 
Ausführung dieser Geometrie sich ein solcher Widerspruch ergeben müsse, dass diese Ausarbeitung 
bis heute nur noch nicht weit genug geführt sei; denn der aus einer unmöglichen Voraussetzung 
zu folgernde Widerspruch braucht nicht sogleich auf der Hand zu liegen, wird vielmehr oft erst 
durch sehr weitläufige Schlüsse erkenubar. Derselbe darf aber auf keinen Fall aus der Anschauung 
entnommen werden; denn die wissenschaftliche Geometrie hat eben die Aufgabe, aus wenigen un- 
bewiesenen (meist der Anschauung entnommenen) Sätzen durch logische Verknüpfung dieser Sätze 
neue Resultate abzuleiten, ohne von neuem sich auf die Anschauung zu berufen. 
Thatsächlich liegt die Frage nach neueren Untersuchungen aber so, dass man in der nicht- 
euklidischen Geometrie nie zu einem solchen Widerspruche gelangen kann. Es ist das grosse 
Verdienst Felix Klein’s, hierauf hingewiesen zu haben; nach ihm nämlich lässt sich jedem Satze 
der nichteuklidisehen Geometrie ein anderer (aus dem Parallelenaxiom ableitbarer) Satz unserer 
gewöhnlichen Euklidischen Geometrie derartig, an die Seite stellen, dass der letztere notwendig 
falsch sein müsste, wenn ersterer einen Widerspruch enthielte. Sollte daher die nichteuklidische 
Geometrie nicht in sich widerspruchsfrei sein, so müsste auch unsere gewöhnliche Geometrie falsch 
sein; es würde dann alle geometrische Forschung unmöglich. Hiermit ist endgiltig bewiesen, 
dass es unmöglich ist, das sogenannte Parallelenaxiom zu beweisen; und dieses mit 
Hilfe der viel geschmähten nichteuklidischen Geometrie gewonnene Resultat giebt uns erst 
definitiv die unentbehrliche feste Grundlage aller geometrischen Untersuchung. Leider scheint es 
