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noch immer nicht hinreichend bekannt zu sein, denn es giebt noch immer elementare Lehrbücher, in 
denen falsche Beweise des Parallelenaxioms reproduziert werden. 
Auch auf Grund der Untersuchungen von Riemann und Beltrami über das sogenannte 
Krümmungsmass des Raumes kann man ähnliche Folgerungen ziehen; dieselben sind aber insofern 
nicht einwurfsfrei, als es bei ihnen an einer rein geometrischen Definition der dabei benutzten Koor- 
dinaten fehlt; gleiches gilt inbezug auf die Helmholtz’schen Entwickelungen. j 
Es ist ferner von Klein darauf hingewiesen worden, dass man unter Anlehnung an gewisse 
Betrachtungen v. Staudt’s zur direkten Begründung der analytischen Geometrie gelangen kann, 
ohne dabei irgend welche metrischen Sätze zu benutzen. Vom Vortragenden ist dieser Gedanke 
neuerdings eingehend durchgeführt, und mag deshalb auf die kürzlich von ihm herausgegebenen 
„Vorlesungen über Geometrie, zweiter Band, erster Teil“ verwiesen werden. Die Klein’sche Methode 
führt direkt zur Begründung aller „rein projektivischen“ Sätze, von denen auch sonst bekannt war, 
dass sie in der nicht-euklidischen Geometrie unveränderte Giltigkeit haben. Erst in der metrischen 
Geometrie, das heisst bei Einführung der für jene Gesetze nicht notwendigen Begriffe der Entfernung 
und des Winkels beginnt der Unterschied beider Arten von Raumlehre. 
Wenn man daran festhält, dass bei einer „Bewegung“ jeder Punkt wieder in einen Punkt, 
jede gerade Linie wieder in eine gerade Linie übergehen soll (womit auch ausgesagt ist, dass die un- 
endlich fernen Elemente auch unendlich fern bleiben sollen), so bleiben (vergl. die Ausführungen 
a. a. O.) drei Möglichkeiten übrig, die mit einander gleich berechtigt sind, und zwischen denen nur 
eine neue Erfahrungsthatsache entscheiden kann, nämlich: 1. die gewöhnliche Euklidische 
Geometrie, 2. die schon von Gauss studirte nicht-euklidische Geometrie und 3. eine zweite Abart 
der letzteren, deren Möglichkeit von Riemann zuerst bemerkt wurde, und bei welcher die Existenz 
einander paralleler Linien überhaupt geleugnet wird. 
Besonders hervorzuheben ist, dass man bei letzterer Geometrie den Satz, dass zwei Punkte 
eine Gerade immer fest bestimmen, nicht notwendig fallen zu lassen braucht, wie von v. Helm- 
holtz, Benno Erdmann und vielen anderen irrtümlicher Weise behauptet ist; es sind vielmehr zwei 
weitere Unterfälle zu unterscheiden, je nachdem man diesen Satz beibehalten will oder nicht. 
So sind wir jetzt nach Jahrtausenden fortgesetzter Arbeit endlich zu der sicheren Erkenntnis 
gekommen, dass an den Grundlagen der Geometrie, wie sie Euklid festgelegt hat, nicht zu rütteln 
ist, dass er mit bewundernswertem Scharfsinn richtig handelte, indem er den Inhalt des fünften 
Postulates eben als Postulat und nicht (wie unzählige seiner Nachfolger) als Lehrsatz gab. 
Weitere Bemerkungen des Vortragenden bezogen sich auf die Euklidischen Grössen- 
axiome, denen im Sinne des Altertums eine viel weitergehende Bedeutung zukommt, als bei der 
Stellung derselben in den heutigen Lehrbüchern der Elementar-Mathematik und der Logik zu er- 
warten ist. Sie sind eben nicht nur logischer, sondern auch rein geometrischer Natur, wie a. a. O. 
näher ausgeführt wurde. 
Ergänzend mag hier bemerkt werden, dass die Parallelentheorie in den beiden elementaren 
Lehrbüchern von Mehler (6. Auflage, Berlin 1889) und Baltzer (5. Auflage, Leipzig 1878), welche 
in unserer Provinz vorwiegend in Gebrauch zu sein scheinen, der Hauptsache nach richtig behandelt ist. 
Bei Mehler geschieht dies allerdings in so knapper Form, dass die richtige Erfassung des Sach- 
verhaltes besondere Aufmerksamkeit erfordert; wenigstens habe ich bei den Prüfungen der Lehramts- 
candidaten die Erfahrung gemacht, dass die betreffende Stelle bei Mehler nar selten richtig verstanden 
wird. In $ 9 nämlich (Seite 6) wird durch das bekannte Umlegungs-Verfahren der Satz bewiesen, 
dass die beiden von einer dritten geschnittenen Linien parallel sind, wenn zwei 
Gegenwinkel gleich sind, wodurch (gemäss der in $ 8 gegebenen Definition paralleler Linien) 
nur ausgesagt ist, dass sich die beiden Linien, beliebig weit verlängert, nicht schneiden. Es wird 
meist übersehen, dass dieser Satz nicht umkehrbar ist; erst durch den bei Mehler im $ 10 aufge- 
stellten Grundsatz, nach welchem man durch einen Punkt zu einer gegebenen Geraden nur eine 
(nicht unendlich viele, wie nach $ 9 noch denkbar wäre) Parallele ziehen kann, wird die Umkehr- 
barkeit des Satzes erreicht. Der im $ 9 gegebene Beweis involviert gleichwohl noch eine nicht aus- 
drücklich hervorgehobene Voraussetzung, nämlich (wie ich a. a. ©. p. 550 näher erörtert habe) diejenige, 
dass die Ebene durch eine beliebige gerade Linie in zwei völlig getrennte Teile zerlegt werde. 
Nur durch das stillschweigende Hinzufügen dieser Annahme gelingt es bei Mehler, die oben 
