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erwähnte dritte Möglichkeit (die elliptische Geometrie) auszuschliessen, während die zweite Möglich- 
keit (die hyperbolische Geometrie) durch den angeführten Grundsatz beseitigt wird. 
Bei Baltzer (a. a. O. p. 12) ist der Gedankengang ein ganz analoger. Nur ist die Definition 
von Parallelen eine andere und in sofern weniger gute, als die Worte „unendlich ferne Punkte“ in 
ein Elementarbuch nicht hineingehören; sie richten hier nur, wie ich bei den Prüfungen zur Genüge 
erfahren habe, Verwirrung an. Die zuletzt erwähnte stillschweigende Voraussetzung ist auch bei 
Baltzer gemacht; da durch diese die elliptische Geometrie schon ausgeschlossen ist, hat man nur 
noch die Wahl,zwischen zwei (nicht, wie auf S. 13 behauptet wird, zwischen drei) verschiedenen 
Geometrieen. 
Sowohl bei Mehler als bei Baltzer findet sich der Satz von der Gleichheit aller rechten 
Winkel bewiesen, indem der rechte Winkel als Hälfte eines flachen aufgefasst und die Gleichheit 
aller flachen Winkel als selbstverständlich angenommen wird. Bei Euklid dagegen steht der Satz 
von der Gleichheit aller rechten Winkel unter den Postulaten, und dies mit Recht, wie ich a. a. O. 
p. 548 erörtert habe; er ist vollständig äquivalent mit ‘der unbeweisbaren, der Anschauung, ent- 
nommenen Behauptung, dass gleiche Constructionen, an verschiedenen Stellen des Raumes ausgeführt, 
zu gleichen Resultaten führen, oder dass der Raum eine „in sich congruente Mannigfaltigkeit“ sei. 
Schickt man diese allgemeine Festsetzung als Grundsatz oder Axiom voraus, so ist der übliche 
Beweis für die Gleichheit aller rechten Winkel correct; andernfalls aber ist er fehlerhaft. Ueberdies 
ist es mehr zu empfehlen, an dem Euclidischen Postulate festzuhalten, als (wie es Grassmann und 
andere thun) die erwähnte allgemeine Voraussetzung zu machen; es sollen jedoch die Gründe dafür 
hier nicht wiederholt werden. Auf keinen Fall aber findet sich bei Euklid (wie oft behauptet 
wurde) eine Lücke. 
Als sechstes Postulat ist in manchen Ausgaben und Handschriften Euklid’s der Satz 
angeführt, dass zwei Punkte eine Gerade vollständig bestimmen. Da aber dieser Satz schon im 
ersten Postulate vorausgesetzt wird, so habe ich angenommen (a. a. ©. p. 542), dass er in Euklid’s 
Definition der Geraden von selbst enthalten sei; und diese Annahme ist mit dem Wortlaute der 
Definition wohl verträglich, Der Umstand, dass einige Handschriften und einige alte Schriftsteller 
das sechste Postulat nicht kennen, wurde von mir zwar angeführt (p. 554), war aber für meine 
Auffassung nicht wesentlich. Ich erwähne dies hier ausdrücklich, um Missverständnissen, wie sie 
nach brieflichen Mittheilungen nahe zu liegen scheinen, vorzubeugen. 
Auch bin ich darauf aufmerksam gemacht worden, dass sich bei Mehler eine Definition 
des „Flächeninhaltes“ finde, während ich (a. a. O. p. 557) dieselbe vermisste. Nun heisst es zwar 
p- 7, $ 12 bei Mehler „Die Grösse eines begrenzten Teiles der Ebene heisst Flächeninhalt dieses 
Teiles“; aber bier ist nur ein Wort durch ein anderes ersetzt; jetzt bedarf es immer noch einer 
Erörterung, darüber, was unter „Grösse des begrenzten Teiles“ zu verstehen ist; und das kann nur 
durch die a. a. OÖ. als notwendig betonte Aufnahme der sogenannten Grössenaxiome Euklid’s in 
unsere Elementargeometrie geschehen. Ganz analog, verhält es sich mit der Definition eines Winkels: 
es ist zunächst gleichgiltig, ob ich als Winkel den Richtungsunterschied zweier Geraden oder den zwischen 
ihnen liegenden Teil der Ebene definiere; denn in jedem Falle müssen zur Vergleichung zweier 
Winkel, diese Ebenenteile auf einander gelegt werden. Die Benutzung des Wortes Richtungsunter- 
schied ist nur deshalb nicht zu empfehlen, weil dies Wort vollständig überflüssig ist (a. a. O. p. 543 £.). 
Ich benutzte noch die Gelegenheit, um hier einige nachträgliche Verbesserungen für das 
mehrfach eitierte Werk anzumerken: In Gleichung; (8), p. 470 muss der Cosinus durch seinen reciproken 
Wert ersetzt werden; in Gleichung (11), p. 472 muss es heissen tang statt sin. Die Ueberlegung 
auf p. 22, Zeile 3 v. u. ist nur für eine Fläche zweiter Klasse mit reellen Erzeugenden anwendbar, 
wenn man in Richtung einer Erzeugenden fortschreitet, und ist hier andernfalls in leicht erkennbarer 
Weise zu modificieren. 
Sitzung am 14. Mai 1891 
im physikalischen Institute der Universität. 
Der Präsident der Gesellschaft Herr Professor Dr. Lindemann teilt mit, dass die Gesell- 
schaft soeben durch das plötzliche Hinscheiden ihres Protektors, des Oberpräsidenten Dr. von Schlieck- 
