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Ich werde hier, um den Druck zu erleichtern, den Kettenbruch, welcher sich durch Elimi- 
nation von 21, 29, . . . &n ergiebt, nicht in der bekannten treppenförmigen Gestalt schreiben, sondern 
durch das Zeichen 
(a, Are... ‚ an, En+1) 
andeuten. Die oben erwähnten Kettenbrüche stellen sich dann so dar: 
e—1 
(D)veress ee s + 026,10, 14,......) 
TER on N ee ), 
Die Teilnenner dieser Kettenbrüche bilden arithmetische Reihen mit der Differenz 4 be- 
züglich 2, und die hierin ausgesprochene Gesetzmässigkeit gestattet es, die Gleichungen (2) und (3) 
in kurzer und prägnanter Form so zu schreiben; 
ne. = 0, m, a 
BIN. Tu =-0, mi), TER 
Um nun aus der Gleichung (2) die Kettenbruchentwicklung von e herzuleiten, bemerken 
wir, dass nach der Gleichung — _ Hr —1 
EG Z NO 1 ) 
ist. Offenbar werden wir hieraus die Entwicklung von e—1 und also auch von e erhalten können, 
wenn wir im Stande sind, das Doppelte eines Kettenbruches wieder in Form eines Kettenbruches 
darzustellen. Dies gelingt nun in der That ganz allgemein durch die Gleichungen 
c 
IR N (0, a 2) 
ee 2.0, 2a+1,b) = (0. a, 1,9: =); 
welche für beliebige Werte der Grössen a, b, c erfüllt sind. 
Die fortgesetzte Anwendung der Gleichung (6) auf den Kettenbruch (4) ergiebt die in Aus- 
sicht gestellte Entwicklung der Zahl e: 
Res... er ET er 
oder, wenn wir in kurzer Schreibweise das Gesetz, nach welchem die Teilnenner fortschreiten, 
kenntlich machen wollen: 
HS a e= (2 1, 2m, I), Im EIN I): 
In ganz entsprechender Weise finde ich aus der Gleichung (3) die Entwicklung 
der Zahl e&: 
EN a 7,2 ern, 1. ae. 
oder kürzer: 
(See eres.rs e— (7, 3m- LU I3m H2MZE6), Em EN ee): 
Ein Blick auf die Entwicklungen (7) und (8) genügt, um sich zu überzeugen, dass weder 
die Zahl e noch ihr Quadrat einer Gleichung zweiten Grades mit ganzzahligen Coefficienten genügt- 
Denn man weiss, dass die Kettenbruchentwicklung der Wurzel einer solchen Gleichung notwendig 
periodisch ist. Diese Eigenschaft der Zahl e würde man freilich ohne Schwierigkeit auch schon aus 
den Entwicklungen (2) und (3) ableiten können, wie dieses von Herrn Stern*) geschehen ist. 
An die vorstehenden Betrachtungen habe ich einige Untersuchungen allgemeineren Charakters 
geknüpft, welche ich, da sie einen grösseren Raum beanspruchen, andern Orts veröffentlichen werde. 
Doch möchte ich mir erlauber, hier einen Teil der Resultate, welche ich erhalten habe, mitzuteilen 
um die Entwicklungen (2), (3), (7), (8) von einem höheren Standpunkte aus zu beleuchten. 
*) Algebraische Analysis. 
