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Wir betrachten alle Kettenbrüche 
(Ola ae eEQEr CH, dr seen cd, ea Char ee dance, CU nn clean 
von folgendem Bildungsgesetz: eine endliche Zahl von Anfangsgliedern a, &,.... ax sind keiner 
Einschränkung unterworfen, dagegen sollen die folgenden Glieder in die Reihen 
ce, er)5, cr), eo... 
angeordnet, r arithmetische Reihen bilden. Sind die Differenzen dieser Reihen d,, ds, ... . dr, so ist 
also allgemein 
A)... cm+t1=ch+tmd, emt1= chH+mdy... Mm+1= cn, md (m=0,1 2, ....). 
Die Differenzen d,,... dr sind nicht negative ganze Zahlen; es soll indessen nicht aus- 
geschlossen sein, dass einige derselben Null sind, in welchem Falle die betreffenden Reihen (10) aus 
ein und derselben unendlich oft wiederholten Zahl bestehen. Die Gesamtheit der Zahlen x, welche 
durch die Kettenbrüche von diesem Bildungsgesetze dargestellt werden, will ich zur Abkürzung als 
die Zahlklasse (X) bezeichnen. Dann bestehen folgende Sätze: 
Ac+B 
Cz+D 
dieser Zahlklasse an, wenn A, B, C, Dirgend welche ganze Zahlen bezeichnen. 
Bedeutet z irgend eine Zahl der Zahlklasse (KR), so gehört auch «&' = 
Da nach (7) und (8) die Zahlen e und e? der Klasse (K) angehören, so folgt als spezieller 
Fall unseres Satzes: 
4Ae+B A®—+B 
Cde+D De c&2+D 
in einen Kettenbruch, so werden die Teilnenner von einer gewissen Stelle ab eine 
oder mehrere in einander geschachtelte arithmetische Reihen bilden. 
Bezeichnen A,B,C, D ganze Zahlen und entwickelt man 
Dieser Satz findet in den folgenden, beliebig zu vermehrenden Beispielen seine Bestätigung: 
2e —= (52,3, 2m, 3, 1,.2m,/1), 
e+1 nn 
A. (0, 1, 13, 4m +1, 16m+ 12), 
NE 5 E — (1,4, 5, 4m—3, 1,1, 36m —16, 1,1, 4m —2, 1, 1, 36m —4, 1,1, 4m—1, 1, 5, 4m, 1), 
2® = (14, 3m — 2, 3, 1, 3m —2, 48m — 12, 3m —1, 1, 3, 3m, 48m + 12), 
RI E32 a Ben). 
Ich will nun aus der Zahlklasse (K) insbesondere diejenigen Zahlen herausheben, für 
welche r = 1 ist, deren Kettenbruchentwicklung also die Gestalt 
red aaa dc t2d, ce Hader. ) 
besitzt. Bedeutet g den Rest der Division von ce durch d, so ist 
e= g+1.d, 9<d, 
und die Entwicklung (13) stellt sich in der Gestalt dar: 
BAER. ns © = (aa... a, g+iAd,g+A+UV)dH,g +A+HM)d.....). 
Es besteht nun der Satz: 
„Zwischen zwei solchen Zahlen 
2 = (a, a, ..., g +4, g+A+DdD, gg +aA+Dd....) 
x = (al, ad... a, Hr, HA HYDG, Ha HDI,....) 
