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zwischen zwei benachbarten horizontalen Reihen Platz finden könnte. 
Auch werden trotzdem, dass die vordern rationalen Ak regelmässig wachsen, 
die hinten dazu gehörigen irrationalen k verschiedene Differenzen haben. 
4) Wollte man die auf die angedeutete Weise vervollständigten Gudermann’- 
schen Tafeln zugleich auch für Kreisrechnungen benutzen, so müssten nun 
noch links und rechts zwei Columnen mit den irrationalen ® hinzukommen, 
welche natürlich wieder verschiedene Differenzen haben würden und die man 
also hin zu setzen hätte. Aber an verschiedene Differenzen bei den ® würde 
sich der Rechner schwer gewöhnen, schon wegen der Sexagesimaleinthei- 
lung. Gudermann hätte also nur bei einer Rubrik keine Differenzen hin 
zu schreiben, während ich bei zwei Rubriken die Angabe der Differenzen 
erspare. Aber vor allen Dingen brauche ich die 2‘ nur einmal vorne zu be- 
rechnen, da sie hinten mit den Complementen der ®@ in umgekehrter Ordnung 
unverändert wiederkehren. 
Im Grunde habe ich nicht viel mehr gethan, als eine Idee Lambert’s 
(Histoire de U Academie Royale des sciences, Berlin 1770, pag. 350 ete.) weiter 
ausgeführt, welcher in seiner dort befindlichen Skizze den Hilfswinkel ® von 
Grad zu Grad wachsen liess und die hyperbolischen Sectoren, Sinus, Co- 
sinus und Tangenten der bezüglichen Winkel gab. Gudermann hätte diesen 
Weg nicht verlassen sollen; dass er die z (seinek) zum Massstabe des Fort- 
schreitens wählte, war ein Fehleriff. 
Da von den hyperbolischen Sinus und Cosinus schon in meiner Ab- 
handlung über die kubischen Gleichungen Anwendungen vorkommen, so will 
ich hier vorläufig nur einige Anwendungen von den hyperbolischen Tan- 
genten und Ootangenten mittheilen. 
Durege giebt in seiner Theorie der elliptischen Functionen, 1861, pag. 
194, die zuerst von Richelot aufgestellte und von ihm zur Berechnung von 
log. sin am (u,k) bereits benutzte Formel: 
sin am (u, k) = 4!. sin am 5; Sg on sin am Sr (2h K-+u).sin am (2hK-—.u), 
" (Mod. 1). 
ne 
Man setze nämlich sin am (u,1) = er —=Tguw=itgiu (nach mei- 
ner Abhandlung von 1861, pag. 9) und ausserdem 
w . 
sp? K=L, gg w—=v. Dann kann man schreiben: 
sin am (u,k)—= A'.Tgv. Tg(L+v).Tg(L—v) Tg(2 L+v).Tg(2L—v).... 
il 
RE 
wobei 4’ = Vk ist. 
Fasst man in zwei entsprechende Glieder zusammen, so entsteht: 
Gr Tg L?— Tgv? Tg2L?— Tgv? Tg9g3L?— Tgv? 
II. sinam(u,k) = Pow ToDE 108° I Tg3 LE Tgo® "I 193 Tgo2 
welche Reihe der vorigen in praktischer Hinsicht wenig nachsteht. 
Da ferner sin am (u, k) = —i.tgam (i u, k') ist, so hat man 
 TgL?’-igiv? Tg2 L?-+tgiv? 
14 TgL2.1gi02 "14 Tg2 12 .agip2'' 
— itg am (iu, k') — A!.—itgiv. 
