10% 
Schreibt man u statt iu, also v statt iv, 
ferner k statt A‘, also A statt A’, Z, statt Z und », statt v, wobei 
1 7 y, zu . 4 
A Tr — IE: K' und v, = 5 u ist, so erhält man: 
= TgL,’+tgv” Ty2L’+Yy? 
tgam (u,k) = A AGO SL TE Ego IH TIL rg 11%; 
Jetzt setze ich in Iiu-- K statt u, also eb: -- iv statt v. Dies giebt 
sin am GutK,k)=4!.Tg L-+tiv).Ty(l3L+ie).Tyg& L-iv). 
Tg(223 L-+iv).Tg(l3L—io).... 
Ty#L?2— Tgiv? Ty14 L?— Tgiv? Tg 24 L?— Tgiv? 
1 DOSE SRTaR DE 19 2320? 71 192310? Toepe 
Nun ist sin am (u+ K,k) = 
—itgev, also haben wir 
1 Lage:  Tghirigo? Tg3 L’+tigv? 2 Ar ai King: 
"Jam(u,k) a a ED Te Fe 
oder 
1 1 TgoL 2tg%,2  12EE- Tgo2ib,21gw,2 1 Tg&L,2tgv,? 
Aam(u,k) = SE I% ’ gv, + 954%, gtV, SE 954%, gv, e NG 
eh 
En (Durege, pag. 28,18) und Tyiv 
J am 
AN sTgEL,” 190,2 "UTgBL,?Eigv,®2." Tg, ? -Eigow,? 
1 mer 
— — 1/7 
wo yk’ 1st. 
Die Formeln ILI und IV können in folgender Weise logaritbmisch ge- 
macht werden: 
1) Mit zwei ae en: 
Es ist log —=log(a+b)—log(1-+ab). 
Nun ist (1861, pag. 41, $ 31): 
log (a+b) = loga-+-2log Cos y, wo Sinp= V> und 
log(1-+ab) =2log Cos w, woSiny=Yab. 
Also hat man /og Ta0r „= loga+2log 2 ?) (für III) und ebenso 
log a — 2109 (2 ”) — log a (für IV). 
Cos 
Für OL.ist suceessive «a #9L,3 T7Tg2L,?..... unddb= tg», ? 
für IV... .2:.0,, Maler A Egal, ?i38l. b=ilg.0,? 
2) Mit einer veränderlichen Hilfsare, wobei aber v, <45 ° sein muss: 
Typ+Tyw 
Besist Tg (PB) — wre 
Setzt man 79 w= ty v,* und respective 
u Ip, To, Top“... — TdL,2 Tg22, 3 Re 
WAVE TER, DEP" Tg, TEL, 2, gab ei ‚so hat man 
t 5) 
igam (uk) = 5 1799-40). Tg(p' +0). Typ" +)... DIV 
A am (u, k) = Yr.Cotg (P-+).Cotg (+ w).Cotg(P"+ ®).... IV’. 
Gudermann giebt im Crelleschen Journal 20, pag. 123, (oder in seiner 
Theorie der Modularfunctionen, Berlin, 1844, pag. 384) folgende drei Formeln: 
