6 
| —1 
A ._ a. ) da dy de = — '£ un dx dy dz, oder: 
A = ff: + Bremen +.) dydz, 
wenn r, vr’, r“,... die Werthe des go für die Stellen bezeichnen, an denen das Prisma, 
dessen Querschnitt dy ds ist, in die Masse des Polyeders eintritt oder aus ihr her- 
austritt, und &, e, €... —= + / an den Eintritts-, dagegen = — 1 an den Aus- 
trittsstellen gesetzt werden. Man kann aber diese Formel bekanntlich einfacher 
schreiben, indem man edy de — cos« dw setzen darf, wo dw das Oberflächenelement 
des Körpers an der betreffenden Ein- oder Austrittsstelle und @ den Winkel der 
auf do nach Innen errichteten Normalen mit der Axe der X bedeutet. Man erhält 
ls 4 2. feos a do 
also A =f , 
wenn das Integral über die ganze Oberfläche des Polyeders genommen wird. Da 
aber « für alle Elemente derselben Polyederfläche constant ist, so können wir die 
Formel auch so schreiben: 
2) A= 2 oa >, 
und haben jetzt das Integral- und das Summenzeichen genau so wie in 1) zu ver- 
stehen. Setzt man noch zur Abkürzung 
20 fi, 
INN EZ 2-92) lea. 
Es handelt sich also bei der Bestimmung von V und 4 gleichmässig um die Aus- 
mittlung des Doppelintegrales 2, welches als das Flächenpotential eines Grenz- 
polygons betrachtet werden kann, wenn man sich dasselbe mit einer Massenschicht 
von der constanten Dichte / belegt denkt. An jeder der ein solches Polygon F 
begrenzenden Kanten, lassen sich, sobald man sich die Ebene, der F angehört, all- 
seitig erweitert vorstellt, zwei Seiten unterscheiden, eine innere, an welcher F 
selbst, und eine äussere, an welcher der übrige Theil der Ebene liegt. Wir con- 
struiren jetzt in der Ebene des Polygons F über jeder der das letztere begrenzen- 
den Kanten das Dreieck, welches seine dritte Ecke in dem Fusspunkte OÖ des von 
P auf jene Ebene gefällten Lothes hat. Wird die Fläche eines solchen Dreiecks 
positiv oder negativ gerechnet, je nachdem es mit Fan derselben (also inneren), 
oder an der entgegengesetzten (also äusseren) Seite der gemeinschaftlichen Kante 
liegt, so ist der Flächeninhalt von # gleich der algebraischen Summe aller con- 
struirten Dreiecke, und versieht man auch die Potentiale der äusseren Dreiecke 
mit dem negativen Vorzeichen, so setzt sich in gleicher Weise das Potential von # 
aus den Potentialen aller einzelnen Dreiecke zusammen. Betrachten wir also eines 
. dieser Dreiecke, OST, legen noch durcli das Loth PO oder p eine zu der Polygon- 
seite ST senkrechte Ebene POQ, fällen von irgend einem Punkte D des Dreiecks 
auf OQ das Loth BC = y, setzen O C =, <OPB=%,<COB= n, und be 
zeichnen durch (p) den absoluten Werth von p, so ist: 
© = OB.cosn —=(p) tg 9 cosn, 
y= OB.sinn = (p) tg 9 sinn. 
Der Winkel 9 liegt nothwendig zwischen o und % x, den Winkel 7 zählen wir, 
wenn (, wie es in der Figur angenommen ist, zwischen S und 7 fällt, in dem 
so wird: 
