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während A genau den in 6) befindlichen Werth bezeichnet. Da aber Al, u 
so muss die zu A addirte Summe identisch verschwinden. Man substituire nun 
z. B. statt des Polyeders eine Pyramide, welche ein beliebiges Polygon F zur Basis 
hat, und nehme an, dass der angezogene Punkt sich in deren Spitze befinde. Es 
verschwinden dann alle Lothe p mit Ausnahme des auf F gefällten, und da die in 
der grossen Klammer befindliche Grösse, wie nicht schwer zu zeigen, für p = 0 
nicht unendlich wird, so sieht man folglich ein, dass für jedes Polygon F für sich 
die Identität erfüllt sein muss: 
)p = = = m & (cot 1, p cot 4, „| 
Die gewonnene Relation kann benutzt werden, um auch die Ausdrücke für die 
zweiten Differentialquotienten von V in ihrer einfachsten Form zu erhalten. Diffe- 
x d 
renturt man 6) nach a und bemerkt, dass - — cos a’ —= dem Üosinus des Winkels, 
welchen die ltichtung von g (von der Seite des Polygons nach dem Innern seiner 
Fläche hin genommen) mit der Axe der a bildet, so ergiebt sich mit Rücksicht auf 7): 
d2V 
Fr “ fcos®?@ + 3 cos a cos a’ log (cot % y cot!, Di 
F K 
Die Werthe von N und = gehen hieraus sofort hervor, indem man «, «' in ß, $' 
und in y, y’ verwandelt, und unter 8, 3° die Winkel versteht, welche p und qg mit 
der Axe der 5, und unter y, y‘ diejenigen, welche p und q mit der Axe der cbilden. 
Da aber die Coordinatenaxen als rechtwinklig angenommen sind und auch die 
Linien » und g auf einander senkrecht stehen, so hat man: 
cos?a + cos?8 + cos?y — 1, 
cos a. cos a + cos ß cos! + cosy cosy' — (. 
Daher ist: 
a LEE A 
da? di | de 3 
oder nach der üblichen Bezeichnung: 2 V7 = — If, d. h. gleich der scheinbaren 
Grösse $ der Gesammtoberfläche des Polyeders. Nun ist aber für einen innern 
Punkt 3 gleich der ganzen Oberfläche der um P mit dem Radius 7 beschriebenen 
Kugel, d.h. = 47, und für einen äussern Punkt ist $ = 0, weil die scheinbare 
Grösse der dem P die äussere Seite zukehrenden Polygone gleich der der übrigen 
Grenzflächen, aber von entgegengesetztem Zeichen ist. Es ist also 2V = — 4n 
für einen innern und —=o0 für einen äusseren Punkt, und es hat sich auf diese Weise 
gezeigt, dass der in 5) gegebene Ausdruck des V einer der bekannten characteristi- 
schen Eigenschaften des Potentials Genüge leistet. 
Wir wollen auch die Formel 4), welche das Potential einer auf der Fläche 
eines Polygons # sleichmässig vertheilten Massenschicht darstellt, partiell nach a 
differentiiren, und erhalten, indem wir wieder 7) berücksichtigen: 
d2R 
8) 15 = feose-+ = cos @' log (cot yy cot 1, W). 
Nehmen wir insbesondere als Anfangspunkt der Coordinaten einen Punkt in F und 
als Axe der a die zu diesem Punkte gehörige Normale der Ebene, so wird p = a, 
F erhält beiläufig dasselbe Vorzeichen mit a, es wird cos@ — I und jedes @' = % n, 
d. h. cose’ = 0. Die Formel 8) vereinfacht sich also in diesem Falle zu 
da 
8) En TR 
