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Da die beiden letzten Gleichungen jetzt folgendermassen dargestellt werden 
4" z . — . . 
können: e = (os z+ Sinz unde = (os z — Sinz, so ergeben sie, dass 
zZ —z 2 4 6 
et Au, 2 2 2 
2 atrehmee a;nd 
S rer u 0 _ . ist 
er Sal gaatamsse TEE ER RI 
Bezeichnet « einen andern hyperbolischen Sector, so ist 
e — (Cosu-+ Sin u und e 
dee —(00s(z+u)+Sin(z-+u) und ee 
Daraus schliesst man: 
Cos (£+ u) = (oz 2.Cos u+- Sinz. Sin u und Sin (+ u) = Sin z. Cosu--Cosz. Sinu. 
Ebenso würde man durch Benutzung der Ausdrücke e® " und a 
sprechenden Formeln für Cos (— u) und Sin (z— u) erhalten. Nimmt man noch 
die Gleichung der Hyperbel: Cos 2? — Sin 2°—= 1 hinzu, und setzt successive z=u, 
2u,3w..., so kann man sich nach Bedürfniss die Cosinus und Sinus der vielfachen 
Sektoren, und anderes hiemit in Verbindung stehendes verschaffen. Um mich hie- 
bei nicht aufhalten zu dürfen, so verweise ich deswegen auf Gudermanns Theorie 
der Potenzialfunctionen pag. 33—33. 
“ —- Cosu — Sinu. Natürlich ist auch 
"ee "= Cos(z+u)— Sin (2+u) 
84. 
Nunmehr ziehe man das Loth HB, die Parallele #H und die Sekante C H, so 
wird man leicht zwischen dem hyperbolischen Sektor BFC=z und dem davon 
abhängigen cyklischen Sektor BJ C = w folgende Beziehungen als richtig erkennen; 
DaF@= HB ist, so haben wir 1) Sinz = tg, 
weil ferner C@ = CH, so ist .. 2) Cos 2 = sec w. 
Die Beziehungen der uhrieen vier trigonometrischen Functionen ergeben sich von 
selbst, ich schreibe daher nur noch hin 3) Tg z = sin u. 
Wenn wir nun noch aus der obigen Gleichung 2 = Log (Cos z 4 Sin z) durch 
einige leichte Rechnungen ableiten, dass 4) 2 = Log tg (450 4 % w) ist, so haben 
wir die wesentlichen Stücke beisammen, auf denen die Anfertigung von cyklisch- 
hyperbolischen Tafeln beruht, wie ich in meiner Abhandlung: „Auflösung der kubi- 
schen Gleichungen durch trigonometrische Functionen des Kreises und der Hyperbel, 
Neueste Schriften der naturforschenden Gesellschaft in Danzig, 1861, pag. 10 und 
2: und 3! Anhang‘ näher gezeigt und namentlich durch die Herausgabe meiner 
Tafeln von 1865 dargethan habe. 
Lambert nennt das zu z.gehörige » den transcendenten Winkel, weshalb ihn 
Herr Prof. Forti in seinen schon erwähnten Tafeln mit r bezeichnet, und Guder- 
mann drückt die Zusammengehörigkeit von z und w in folgender Weise aus: Stellt 
k irgend einen cyklischen Sektor vor, so bezeichnet er den ihm entsprechenden 
hyberbolischen Sektor durch Lk, wo für LLängezahl zu lesen ist; stellt dagegen 
k irgend einen hyperbolischen Sektor vor, so nennt er den ihm zukommenden cykli- 
schen Sektor !k, wo ! Longitudinalzahl bedeutet. 
85. 
Ich will noch über den Winkel FCB=9, den Lambert den gemein- 
schaftlichen Winkel nennt, einige Bemerkungen machen. Wie man sieht, ist 
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