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3. 
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$ 32. 
Aufgabe. Die Länge eines parabolischen Bogens (B) zu finden, dessen Para- 
meter — 2p und dessen Abcisse — « ist. 
Auflösung. Bekanntlich ist B = = für V1+ (= 1+(2) ‚ oder da y» = 2p « ist, 
so ist: 
= „pe Pretke, und mit Benutzung von $ 17, I hat man: 
B= 4 y?pa FF + Ar. Sin vers = 4 Y2pa+4ar + Ar.Cotg we 
— % + (22) + T Ar .Cos BrZ= UM“ 54, 
wo t die Tangente des Parabelpunktes ist, dessen Coordinaten x und y sind, und 
wo A = Ar. Cotg a oder gA= e ist. Eine Constante ist nicht nötbig hin- 
zuzufügen, da für x —= o sowohl t wie auch A = 0 sind. 
Nach dieser letzten einfachen Formel habe ich in der schon erwähnten „Bei- 
lage‘ pag. 3 ein von Montucla (III, pag. 151) gegebenes Beispiel, wonach 2p = 1 
und w — 2 ist, berechnet und gefunden: 
B — 2,12132 + 0,44070 = 2,56202, 
während Montucla durch seine im ersten Theil nicht ganz richtige Formel: 
B=35Y2p+4z +2 Log (te) erhält: 
B=3+0 ‚4406964 — — 3,4406964. 
Herr Director Strehlke findet nach einer indichen Mittheilung die Länge 
eines Parabelbogens AU = B durch folgende elegante Construction: An die Parabel 
AC, deren Scheitel A, deren Axe A@ und deren Halbparameter p = AB ist, legt 
er eine gleichseitige Hyperbel B D, deren Mittelpunkt sich in A und deren Scheitel 
sich in B befindet. Dann zieht er zur Axe aus ( eine Parallele bis zum Hyperbel- 
punkte 7), hierauf D .J senkrecht auf AJ und noch AD. Bezeichnet man nun den 
Flächeninhalt des Dreiecks AJD, welcher = en u ist, durch / und GE 
- ; DJ 
inhalt des hyperbolischen Sektors AB D, welcher nach 8 2 = & 5 Ar. Sin T 
ist, durch S, so soll nach ihm B.p = 4-8 sein. 
Um sich hievon zu überzeugen, ee man ER dass nach unserer 
obigen Entwicklung B.p = : u ar A ist, wobei Tg. 1—2%, Nun it re A G, 
y=CG=DJ, auch sei AJ=X. Dat? = y?4 4.2, ın.. -L 4a? p2, 
und aus X? — y? = p? folgt X?. P=py+ 27 a pr y» + (2p x)”. Mithin ist 
F X .n , 
pP _ — = —= 4. Da ferner RT — _ — = z und demzufolge Sin A =, ist, 
so Ku, man sofort, dass &- a — ist, 
$ 33. 
Um die Länge eines elliptischen Bogens BM —= r zu finden, kommt man be- 
kamntlich auf folgendes Integral: 
p 
mn ‚[ey- yI—esing —a fir dy. 
0 
