2 P. J. Myrberg. (LX 



besitzt. 



Es sei ferner Mr das Maximum von |/(z) — z\ auf der 

 Peripherie des Kreises Kb, dessen Gleichung 



\z\ = Riyi) . 



ist. Dann ist auf dieser Peripherie 



(1) \fiz)\<R + Mn. 



Das Ungleichheitszeichen gilt aber dann sicher fiir 



i£\z\<:r, 



weil in der Ebene /(z) die Bildkurve von Kr^ diejenige 

 von Kr^ vollständig umscMiesst, sobald jR^ > J?2 ist. Es 

 ist also auf der Peripherie des Einheitskreises K^ 



\fiz) — z\<:R-\-MR'^l.^ 

 Nun ist aber die Funktion 



zif{z)-z)=--c,-\-^-\-... 



fiir 1 2 1 > 1 regulär, woraus f olgt dass ihr Maximalmodul 

 auf dem Kreise Kr mit wachsendem R jedenfalls nicht zu- 

 nimmt. Es ist also 



(2) /?M«^max|/(£)-z|,^, ^, 



und somit nach dem eben Gesagten 



woraus folgt 



