A N:o 7) Cber den Vcr/crriinf»ssiitz. 3 



und also iiach (1) 



(3) l/(^)|<« + ^ly' 



zunächst fiir \z\= R, um so mehr aber danii fiir 1 <|z|<^ R. 

 Speziell ergibt sich hieraus, dass fiir Punkte 'z auf der Pe- 

 ripherie des Einheitskreises K^^ die Uiigleichuiig (3) uiiab- 

 hängig von dem Werte von R C> \) giiltig ist, 



Wir setzen jetzt in der Ungleichung (3) i? — 1 -|- 1/2, 

 wodurch die rechte Seite ihr Minimum erreicht, und gelan- 

 gen so zu dem Resultat, dass fiir 1^1 = 1 stets 



(4) \f{z)\^k 



ist, wo A- eine von der speziellen Wahl der Funktion /(z) 



unabhängige Konstante bedeutet, deren Wert <^2 + 2]/2 ist. 



Weil hiernach auf der Peripherie des Einheitskreises K^ 



|/(z)-z|^A- + l 



ist, so haben wir nach (2) fiir beliebige Punkte z ausserhalb 

 des Einheitskreises 



Das gewonnene Resultat driicken wir in etwas allge- 

 meinerer Form durch den folgenden Satz aus: 



S atz. Werm f (z) eine ausserhalb des Kreises \z — a | = (> 

 eindeutige und einwertige analytische Funktion ist, welche in 

 der Umgebung des unendlich fernen Punktes eine Reihen- 

 entwicklung der Form 



cz + c„ + ^+^+ . . . 



besitzt, so gitt fiir einen beliebigen ausserhalb des Kreises ge- 

 nommenen Punkt z die Ungleichung 



