2 K. Wäisälä. (LIX 
Im ersten Teile des Beweises wird von den Reihenent- 
wicklungen algebraischer Funktionen einer Veränderlichen, 
im zweiten Teile von den Entwicklungen algebraischer Funk- 
tionen mehrerer Veränderlichen Gebrauch gemacht. 
In dem dritten Teile seines Beweises bemerkt Herr 
Hilbert, dass wenn r >1 ist, die Funktion F durch die 
Substitution 
Xos== 159 Ups 03) Egg) resa RE NER 
in eine Funktion 
CIGG (ME ene gg lösta NN) 
ubergeht, wo G eine irreduzible Funktion der Veränderlichen 
x, und der Parameter. 5; fa, : «:, Er, lj, togs» = ey ds DPUBU TEES 
lässt sich nun, nach dem vorhergehenden, auf unendlich 
viele Weisen fär diese Parameter ganze Zahlen einsetzen, 
so dass G in eine irreduzible Funktion von x, äbergeht. 
Hieraus schliesst Herr Hilbert, dass die Funktion F fär 
diese Werte von t,, t,, ...,t, ebenfalls in eine irreduzible Funk- 
ICLOT FVO 49 os sel ber sekt. 
Der dritte Teil des Beweises ist jedoch ek allge- 
meingältig. Denn wenn «>1 ist, so könnte ja die Funk- 
tion F fär gewisse Werte der- Parameter einen homogenen 
Faktor »vten Grades (v<0a) besitzen, obgleich die Funktion 
G fär dieselben Werte der Parameter irreduzibel ist. Ist 
insbesondere F eine homogene Funktion der Veränderlichen 
Xy> Lo, « » +» Cr, SO Wird die Funktion G von x, unabhängig 
und folglich kann von ihrer Irreduzibilität keine Rede sein. 
Wie dieser Ubelstand zu beseitigen ist, werden wir in Art. 
3 ersehen. 
Ein anderer Beweis för den Hilbertschen Satz rährt 
von Herrn Mertens!) her. Auch er föhrt den Beweis zuerst 
för den Fall, wo die Funktion F eine Veränderliche und 
« einen Parameter enthält, wobei er wie Herr Hilbert Rei- 
! F. Mertens, Uber die Zerfällung einer ganzen Funktion einer 
Veränderlichen in zwei Faktoren. Sitzungsberichte der Wiener Akademie, 
Bd 120 (1911) S. 1485—1502. 
SR ee, 
Vs 
4 
i 
