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jr A N:o 17) Sur le théoreme de Cantor-Bendixson. 3 
ordinal o<Å tel que p appartient å P, mais m'appartient pas 
å Pai. L'ensemble Py' contenant évidemment I'ensemble 
Pa" si e' <q”, on voit sans peine que ce nombre a est (pour 
tout point p de PP) unique: désignons le par a (p). 
Je dis maintenant qu'il existe un intervalle (a, b), aux 
 extrémités rationnelles,, entourant p et ne contenant å 
Fintérieur aucun point de Pap) autre: que: p.. En effet; 
sil n'existerait pas un tel intervalle, le point p serait point 
d'accumulation de Pup) et appartiendrait par suite (puis- 
qu'il fait partie de Py(p)) å Pensemble Pap) P'a(p) =Pa(lp)+1> 
ce qui m'a pas lieu. ! 
Rangeons tous les intervalles aux extrémités rationnelles 
en une suite infinie bien déterminée (a, b,), (Ad2> ba), (Ag> ba), .....- 
Pour tout point p de P n'appartenant pas å P2, il existe 
dans cette suite des intervalles entourant p et tels qu'aucun 
de leurs points intérieurs, autres que p, n'appartient å 
FPensemble Pap)» de sorte que, St.g est un point.de P; 
distinet de p, qui est intérieur å I'un de ces intervalles, on 
aura a (q) < a (p). - Soit (än(p) &n(p)) le premier des inter- 
valles en question: Findice n(p) sera bien déterminé par le 
point p. 
Je dis qu” å des points p différents corresponderont des 
indices différents n(p). Admettons, en effet, qu” å deux points 
distinets p, et py de P-—P2AR correspond le méme indice 
=p) —N(p>)- Les points-:pret.p, étant tous deux inté- 
rieurs å lintervalle (a,, b,), on devrait avoir a(p2) < 0 (pi) 
et en méme temps a (p,) < a (pa), ce qui est impossible. 
Donc å tout point p de I'ensemble P—P2 correspond 
un nombre naturel bien déterminé n(p), et å deux points 
p différents correspondent des nombres n(p) différents. 
En ordonnant les points p de P-—P2A d'aprés la grandeur 
des nombres n(p) correspondants, nous aurons une suite 
(finie ou simplement infinie) bien déterminée 
Fe Pv Po P3 rssc: 
Nous avons donc démontré que I'ensemble PP (la 
partie séparée de P) est effectivement énumérable (sil existe), 
