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Sur le théoreme de Cantor-Bendixson. ö 
de ensemble P-—P2N, tandis que tout ensemble Pa, ou « <p, 
contient des points de cet ensemble. Il s'ensuit que tout 
point de Pg appartient å PAR, donc que Pg=P2. 
Nous avons donc démontré que, pour tout ensemble de 
points P, il existe un nombre ordinal bien déterminé p<.Q 
tel que Pg=P90. 
Soit maintenant p un point donné quelconque de I' ensemble 
N=P0; je dis que p ne peut pas étre un point isolé de N. 
En effet, admettons qu”il existe un intervalle (a, b) entourant 
p, a Vintérieur duquel il n' y a pas de points de N autres que 
p. I n' y a donc å Fintérieur de (a, b) aucun point de 
Pg autre que p (puisque Pg=P =N). Mais alors le point 
p serait un point isolé de Pensemble Pg et n'appartien- 
drait donc pas å Pg+1 et; nonsplussra NEP; contrame- : 
ment å Ihypothése. 
Nous avons donc démontré que l'ensemble N, sil existe, 
est dense en lui-méme, d'ou ce 
Théoreéme: Tout ensemble de points P se 
NetOömpose-enN we somme: de deux 'ensembles 
P=(P-PR) +-PR=S+N, 
OM S (la partie séparée de P)-est un. ensemble ef- 
Feteiv e:m,en ty ee num era ble (sil existe), et N 
fetopgankde P)j "est un ensemble densecen lur 
m eme (sil existe). 
Quand P est fermé, N sera parfait (car nous aurons 
PR=PÅ), et nous obtenons le théoréme de Cantor- 
Bendix spoon 
Soit maintenant Q un sous-ensemble dense en lui-méme 
de P'ensemble P. L'ensemble Q étant dense en lui-méme, nous 
aurons Q=0Q,, donc Q=0Q2AR: tout point de Q appartiendra 
dönc å I'ensemble QQ et, å plus forte raison, å PAN (puisque 
Q est contenu dans P). Nous avons donc démontré que tout 
sous-ensemble de P qui est dense en lui-méme appartient 
entierement å PR. Il s'ensuit que ensemble PP ne 
contient aucun ensemble dense en lui-méme, c'est å dire qu'il 
est clairsemé, et que PAN est le plus grand ensemble dense 
en lui-méme contenu dans P. Donc: 
